Sonli ketma-ketliklar. Ketma-ketlik va funksiya limiti. Reja: Sonli ketma

Funksiya limiti.
A soni y = f (x) funksiyaning xa dagi (x a ga intilgandagi) limiti deyiladi, agar istalgan ε>0 uchun shunday son mavjud bo’lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha xa lar uchun
tengsizlik bajarilsa va quyidagicha yoziladi:
(1)
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, (1) mavjud bo‘lsa, uchun shunday topiladiki, x argument nuqtaning δ–yaqin atrofidan D ga tegishli qiymat olganda funksiya qiymatlari nuqtaning atrofida bo‘ladi. Boshqacha aytganda, bu atrofda funksiya grafigi eni bo‘lgan o‘qi to‘g‘ri chiziqdan iborat yo‘l ichida yotadi
Geometrik nuqtai nazardan, barcha lar uchun bo’ladi.
M isol. ekanligini ko’rsating.
Yechish: berilgan bo’lsin. son
topish mumkinki, bo’lganda bo’lishini ko’rsatish kerak. bo’lsa,
. U holda
bo’lishi uchun deb olish kifoya. Bundan ni
yechib ni hosil qilamiz. Shunday ni mavjudligini ko’rsatish kerak edi.
Agar son funksiya aniqlanish sohasi bo‘lgan D to‘plamning limitik nuqtasi bo‘lib, olinganda shunday son topilsaki, D ga tegishli munosabatlarni qanoatlantiruvchi barcha x , x nuqtalar uchun f x f x  tengsizlik bajarilsa, f (x) funksiya a nuqtada Koshi shartini qanoatlantiradi deyiladi.
Bu ta’rif funksiya uchun Koshi mezonidir.
Teorema. funksiya chekli nuqtada chekli limitga ega bo‘lishi uchun shu nuqtada Koshi shartini qanoatlantirishi zarur va etarlidir.
Ta’rif (Argument cheksizga intilgandagi funksiya limiti). Agar f (x) funksiyaning aniqlanish sohasida absolut qiymati jihatidan ixtiyoriy musbat sondan ham katta nuqtalar (sonlar) mavjud bo‘lib, ixtiyoriy olingan musbat son uchun shunday musbat M sonni topish mumkin bo‘lsaki, argumentning

x M munosabat o‘rinli bo‘ladigan funksiya aniqlanish sohasiga tegishli qiymatlarida

tengsizlik bajarilsa, A son f (x) funksiyasining x dagi limiti deyiladi va
ko‘rinishda yoziladi.
Bu ta’rifda ni bilan almashtirilsa, funksiyaning dagi; agar bilan almashtirilsa,  dagi limitning ta’riflari kelib chiqadi. Mos ravishda quyidagi yozuvlar o‘rinli: yoki .
Izoh. Agar D sonli to‘plamning olinganda tengsizlikni qanoatlantiruvchi x elementi mavjud bo‘lsa, uning quyuqlik (limitik) nuqtasi deb qabul qilinadi. Shuningdek, yuqoridagi o‘rnida tengsizlik ishlatilsa, limitik nuqta tushunchasiga kelamiz.