Sonli ketma ketlik va uning xossalari. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

Mashqlar

1. 
   Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib ushbu
   

x_n    n 2 n 1

ketma-ketlikning limiti topilsin.

2. 
   Agar lim x  a, lim y  a bo‘lsa, u holda ushbu x1 , y₁ ,x₂ , y₂ ,..., x_n , y_n ,... ketma-ketlikning limiti ham a ga teng bo‘lishi isbotlansin.
   
3. 
   Agar lim xn  a bo‘lsa, u holda
   

n lim x x₁  ₂ ... x_{n } a

n n

bo‘lishi isbotlansin.

xn  sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.

1-ta’rif. Agar xn ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

1. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi. Tengsizliklarda limitga o‘tish.

1-teorema. [1, p.131, Corollary 6.1.17] xn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi

bo‘lsa, u chegaralangan bo‘ladi.

Aytaylik, lim x_n  a, ( a  R)

n

bo‘lsin. Limit ta’rifiga ko‘ra

  0,n0N,nn0; |xna|

bo‘ladi. Demak, n  n0 uchun a    xn  a   bo‘ladi. Agar

max  a   , a   , x1 , x2 , ..., xn₀  M

deyilsa, u holda, n  N uchun x M

tengsizlik bajariladi. Bu esa xn ketma-ketlikning chegaralanganligini bildiradi.

2-teorema. Agar x_n ketma-ketlik yaqinlashuvchi va

limnx a_n 

b o’lib a p a q    bo’lsa, u holda shunday n N₀ topiladiki,  n n₀ bo’lganda x_n  p x _n q

bo'ladi.

◄ Aytaylik,
lim xn  a, a  p	( p  R)
n

bo‘lsin.  0 sonining ixtiyoriyligidan foydalanib,   a  p deb qaraymiz. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan,    0 uchun, jumladan, 0    a  p uchun, shunday n0  N topiladiki, n  n0 bo‘lganda

| xn  a |     xn  a  

bo‘ladi. Ravshanki,

0    a  p  p  a  ,

_   xn  a    a    xn .

Bu tengsizliklardan n  n0 bo‘lganda xn  p

bo‘lishi kelib chiqadi. ►

( a  q hol uchun ham teorema yuqoridagidek isbot etiladi).

3-teorema. Agar xn  va yn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,

1. 
   lim xnc  a, lim yn  b;
   

n  n

2. 
   n  N учун xn  yn (xn  yn ) bo‘lsa, u holda a  b (а  b) bo‘ladi.
   

◄ Shartga ko‘ra lim x_n a , lim y  b . n n n

Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan:

  0 , n0'  N , n  n0' : xn  a   ,



  0 , n0^''  N , n  n0^'' y_n  b  bo‘ladi.

Agar n_ max{n^' , n ^''} deyilsa, unda n  n uchun bir yo‘la

0 0 0

x_n  a   , y_n  b 

tengsizliklar bajariladi. Ravshanki,

|xn  a   а    xn  a   ,



|yn  b   b    yn  b   .

Bu tengsizliklardan hamda teoremaning 2-shartidan foydalanib topamiz: а    xn y n  b   .

Keyingi tengsizliklardan

а    b   , a  b  2 va   0 bo‘lgani uchun a  b  0 , ya’ni a  b bo‘lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshash, lim x_n  a, lim y_n  b hamda n  N uchun

n n

x n  yn bo‘lishidan a  b tengsizlik kelib chiqishi ko‘rsatiladi. ►

4-teorema. Agar xn  va zn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,

1) lim x_n  a, lim zn  а

n n

 n  N uchun xn  yn  zn bo‘lsa, u holda yn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi va lim yn  а

n bo‘ladi. ◄ Shartga ko‘ra lim xn  a , lim zn  а.

n n Limit ta’rifiga binoan:

  0 , n0^'  N , n  n0^' : x_n  a   ,

  0 , n0^''  N , n  n0^'' z_n  a  bo‘ladi. Agar n0  max{n0^' , n0^'' } deyilsa, unda n  n0 uchun

а    хn , z_n  a  

tengsizliklar bajariladi. Teoremaning 1-shartidan foyda-lanib topamiz: а    хn  уn  zn  a   .

Keyingi tengsizliklardan

а    yn  a   , ya’ni |y_n  a|  

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,

lim yn  а.

n

Shuni isbotlash talab qilingan edi. ►

1-misol. Ushbu

lim ⁿ n n




Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz:

n 1 _nⁿ  1 n _n n _n (2)

(1) va (2) munosabatlardan

1

a_n 

n

va

2

1 n n 1 1n

tengsizliklar kelib chiqadi. Agar

2

lim 1^_  ¹n^_ 1 _n

ekanini e’tiborga olsak, unda 4-teoremaga ko‘ra

lim ⁿ n1

n

bo‘lishini topamiz. ►

2-misol.

Ushbu

1 1 1 lim 1n    ... n 2 3 n

limit topilsin.

Ravshanki,

1. 
   1 1 1 1 1 1 1
   

1  ...    ...  n 1

2. 
   3 n n n n n n
   
   1. 
      1 1
      

1  ...    1 1 1 ... 1 n 1 n

2. 
   3 n
   

Demak,

1. 
   1 1 ⁿ n .
   

1     n 1 ...

2. 
   3 n
   

4-teoremadan foydalanib topamiz:

1 1 1

lim 1n     ... 1

n 2 3 n

2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.

Faraz qilaylik, xn  hamda yn  ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin:

{xn } : x1 , x2 , x3 , ..., xn ,...

{yn } : y1 , y2 , y3 , ..., yn ,...

Quyidagi

x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 , ..., xn  yn ,... x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 , ..., xn  yn ,... x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ,...,xn  yn ,...

^{x x x1} , ² , ³ ,..., ^xn ... y_n  0, n1,2,3,... y y y1 2 3 yn

ketma-ketliklar mos ravishda xn  va yn  ketma-ketliklarning yig’indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular

xⁿ 

{xn  yn }, {xn  yn }, {xn  yn }, _ 

^yn   

kabi belgilanadi.

5-teorema. [1, p.131, theorem 6.1.19] Aytaylik xn  va yn  ketma-

ketliklari berilgan bo‘lib, lim xn  a , lim yn  b, (a  R, b  R)

n n  bo‘lsin. U holda n  da c  xn  c  a ; xn  yn  a  b; xn  yn  ab; x_ynn  _ba

1. 
   с  R да lim (c  xn )  c  lim xn ;
   

n n

2. 
   lim (xn  yn )  lim xn  lim yn ;
   

n n n

3. 
   lim (xn  yn )  lim xn  lim yn ;
   

n n n

lim x d) lim x n  n  n , (b  0) ^n yn lim yn n bo‘ladi.

Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan c)-ning isbotini keltiramiz.

◄ Teoremaning shartiga ko‘ra, lim xn  a , lim уn  b.

n n Ravshanki,



xn  yn  ab  xn  yn  a  yn  a  yn  b 

(3)

| x a y_n  | | _n | | a y b| | _n  |

{yn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli u 1-teoremaga ko‘ra chegaralangan bo‘ladi:

M  0, nN: | yn |  M

Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib topamiz:

  0 berilgan hamda ^ ga ko‘ra shunday n0^'  N topiladiki, n  n0^'

2M uchun

x an   

2M

bo‘ladi.

Shuningdek, ^ ga ko‘ra shunday n^{' '}  N topiladiki, n  n^{' '} uchun 2 1  a 

y b_n   ^

2 1  a 

bo’ladi.

Agar n

0  max{n0^' , n0^'' } deyilsa, unda n  n0 uchun bir yo‘la



|xn  a   , yn  b   2М 21  a  bo‘ladi.

(3) va (4) munosabatlardan

xn  yn  ab   M  a    

2М 21  a  bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

lim xn  уn  аb

n

bo‘lishini bildiradi. ►

3⁰. Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar. Faraz qilaylik, _n  ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.

2-ta’rif. [2. p.130] Agar n  ketma-ketlikning limiti nolga teng, ya’ni lim n  0

n

bo‘lsa, n  - cheksiz kichik miqdor deyiladi.

Masalan, n¹ ва n  q ⁿ , _ q  1 n

ketma -ketliklar cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.

Aytaylik, xn  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a ga teng bo‘lsin:

lim xn  а.

n

U holda n  xn  a cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: xn  a  n . Bundan esa quyidagi muhim xulosa kelib chiqadi:

{xn ketma-ketlikning a (a  R) limitga ega bo‘lishi uchun _n  x_n  aning cheksiz kichik miqdor bo‘lishi zarur va etarli. 

Ketma-ketlikning limiti ta’rifidan foydalanib quyidagi ikkita lemmani isbotlash qiyin emas.

1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlar yigindisi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.

2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdor ko‘paytmasi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.

3-ta’rif. [2,p.70, def. 3.7] Agar har qanday M soni olinganda ham shunday natural n0 soni topilsaki, barcha n  n0 uchun



|xn  M

tengsizlik bajarilsa, xn  ketma-ketlikning limiti cheksiz deyiladi va

lim xn 

n kabi belgilanadi.

Agar xn  ketma-ketlikning limiti cheksiz bo‘lsa, xn  cheksiz katta miqdor deyiladi.

Masalan,

xn  (1)ⁿ  n ketma -ketlik cheksiz katta miqdor bo‘ladi.

Endi cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tasdiqlarni keltiramiz:

 1

1) Agar xn  cheksiz kichik miqdor  xn  0  bo‘lsa, u holda  cheksiz

 xn katta miqdor bo‘ladi.

 1

Agar x_n cheksiz katta miqdor bo‘lsa, u holda   cheksiz kichik miqdor

 xn

bo‘ladi.

Nazorat savollari

Sonlar ketma-ketligi nima?

Qachon ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan (chegaralanmagan)

deyiladi?

Sonlar ketma-ketligi limiti ta’rifini bering. Misollarda tushuntiring.

Glossariy

Sonlar ketma-ketligi - f : n  x_n , ( n 1, 2,3,...) akslantirishning akslaridan iborat

Ushbu x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... to‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi.

Yuqoridan chegaralangan ketma-ketlik – agar shunday o‘zgarmas M soni

mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy xn (n 1, 2, 3,...) uchun xn  M tengsizlik bajarilsa (ya’ni bajarilsa (ya’ni  M ,  n  N : xn  M bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

Quyidan chegaralangan ketma-ketlik – agar shunday o‘zgarmas m soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy xn (n 1, 2, 3,...) uchun xn  m tengsizlik

bajarilsa (ya’ni,  m,  n  N : xn  m bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

Chegaralangan ketma-ketlik – agar {xn } ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo‘lsa (ya’ni  m, M ,  n  N : m  xn  M bo‘lsa), {xn } ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.

Yuqoridan chegaralanmagan ketma-ketlik – agar {xn } ketma-ketlik uchun M  R, n₀  N : x_n  M bo‘lsa, ketma-ketlik yuqoridan

0 chegaralanmagan deyiladi. Nuqtaning  -atrofi – ushbu

U_ (a) {x  R a    x  a   }  (a  , a   ) to‘plam a nuqtaning - atrofi deyiladi.

Ketma-ketlikning limiti – agar ixtiyoriy   0 son olinganda ham shunday n0 natural soni mavjud bo‘lsaki, n  n0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi

barcha natural sonlar uchun xn  a   tengsizlik bajarilsa, (ya’ni

  0, n0  N, n  n0 : | xn  a | 

bo‘lsa), a son {xn } ketma-ketlikning limiti deyiladi va a  lim xn yoki n  da xn  a

n kabi belgilanadi.

Adabiyotlar

1. 
   Tao T. Analysis 1. Hindustan Book Agency, India, 2014.
   
2. 
   Xudayberganov G., Vorisov A. K., Mansurov X. T., Shoimqulov B. A. Matematik analizdan ma’rizalar, I q. T. “Voris-nashriyot”, 2010.
   
3. 
   Fixtengols G. M. Kurs differensialnogo i integralnogo ischisleniya, 1 t. M. «FIZMATLIT», 2001.