Sonlarni tub ko paytuvchilarga ajratish usuli bilan

1-amaliy mashg'ulot. Murakkab songa bo‘linish alomati. Arifmetikaning asosiy teoremasi. Berilgan sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi va eng kichik umumiy karralisini topish algoritmi.

MURAKKAB SONLARNING BO‘LIN ISH ALOMATLARI.

SONLARNI TUB KO PAYTUVCHILARGA AJRATISH USULI BILAN

ULARNING ENG KATTA UMUMIY BO‘LUVCHISI VA ENG

KICHIK UMUMIY KARRALISINI TO PISH . EVKLID ALGORITMI

1. (sonning 6 ga bo‘linish alomati). x soni 6 ga bo‘linishi

uchun u 2 ga ham, 3 ga ham bo‘linishi zarur va yetarlidir.

I s b o t i n i n g z a r u r l i g i . Biror x soni oltiga bo‘linsin. U

holda x : 6 va 6 :2 dan x : 2 bo'lishi, x : 6 va 6 :3 dan x : 3

bo'lishi kelib chiqadi.

I s b o t i n i n g y e t a r l i l i g i . x : 2 va x : 3 bo‘lgani uchun x

soni 2 va 3 ning umumiy karralisidir. Ammo sonning istalgan

umumiy karralisi ulaming eng kichik karralisiga bo'linadi, demak,

x : K(2;3). D(2;3) = 1 bo'lgani uchun K(2,3)=2 -3=6. Demak, x : 6.

2. (12 ga bo'linish alomati). x soni 12 ga bo‘linishi uchun u

3 ga ham, 4 ga ham bo‘linishi zamr va yetarlidir.

3. (15 ga bo‘linish alomati). x soni 15 ga boiinishi uchun u

3 ga ham, 5 ga ham boiinishi zamr va yetarlidir.

4.

Son 18 ga boiinishi uchun uning 2 ga ham, 9 ga ham

boiinishi zamr va yetarlidir.

5. Natural son murakkab son n = bc ga boiinishi uchun u

son b ga ham, c ga ham boiinishi zamr va yetarlidir, bunda b

va c sonlar uchun D(b\c) = 1.

Buning isboti 6 ga boiinish alomatining isboti kabi bajariladi.

6. Son 60 ga boiinishi uchun uning 4 ga ham, 3 ga ham, 5

ga ham boiinishi zamr va yetarlidir.

Eslutma. 60 sonining 3 va 5 ga boiinishini yodda tutish kerak.

1- misol. 1548 va 942 sonlari 18 ga boiinadimi?

Y e c h i s h . Avval 18 ga boiinish alomati ifodalanadi:

Birinchidan, 2 • 9 = 18, ikkinchidan, D(2, 9) = 1, ya’ni 2 va 9

sonlari murakkab songa boiinuvchanligi haqidagi teoremani

qanoatlantiradi. 18 sonini 3 • 6 ko'paytmaga keltirish yaramaydi,

chunki Z)(3,6) * 1. 2 ga va 9 ga boiinish alomatlaridan foydalanib,

1548 :2 va 1548 :9 deyiladi. Demak, 1548 :18. 942:2, ammo bu

son 9 ga boiinmaydi. Demak, 942 soni 18 ga boiinmaydi.

Ta’rif. Sonni tub sonlar ko'paytmasi ko‘rinishida ifodalash,

bu sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratish (yoyish) deyiladi.

2- misol. 110 sonini tub ko‘paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h . 110 = 2- 5*11 to‘g‘ri tenglik bo'lganligi uchun

110 soni 2, 5, 11 tub ko‘paytuvchilarga ajratganligini bildiradi.

3- misol. 720 sonini tub ko‘paytuvchilarga ajrating.

Y e c h i s h . 720 soni 2 ga bo‘linadi. Demak, 2 sonini 720

ning yoyilmasidagi tub ko‘paytuvchilarga, o‘ng tomonga yoziladi.

360 ni 2 ga bo‘linsa, 180 chiqadi. 180 ni 2 ga bo'linsa, 90

chiqadi, 90 ni 2 ga bo‘linsa, 45 chiqadi, 45 ni 5 ga bo'linsa, 15

chiqadi, 15 ni 3 ga bo'Jinsa, 5 chiqadi. 5 soni tub son, uni 5 ga

bo‘linsa 1 chiqadi. Ko'paytuvchilarga ajratish tugadi:

720 = 2- 2 - 2 - 2- 3- 3*5

360

180

90

45

15

5

1

Bir xil ko'paytuvchilar ko‘paytmasini daraja qilib yozish

qabul qilingan: 720 = 24 • 32 • 5; 720 sonining bunday yozilishi

uning kanonik ko‘rinishi deyiladi.

4- misol. 3600 va 288 sonlarining eng katta um um iy

bo'luvchisi va eng kichik umumiy karralisini toping.

Y e c h i s h . Bu sonlarning har biri kanonik ko‘rinishda

yoziladi. 3600 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 = 16 ■ 9 ■ 25 = 24 • 32 • 52

288 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 = 9 • 32 = 25 • 32.

3600 va 288 sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisining

tub ko'paytuvchilarga yoyilmasiga berilgan sonlarning yoyil-

malardagi tng kichik ko‘rsatkichi bilan olinishi kerak. Shuning

uchun 3600 va 288 sonlarining eng kichik umumiy karralisi

tub ko'paytuvchilarga yoyilmasiga hech bo'lmaganda bittasida

tegishli bo‘lgan hamma tub ko‘paytuvchilar kirishi va bu tub

ko'paytuvchilarning har biri shu yoyilmalardagi eng katta

darajasi bilan olinishi kerak. Shuning uchun 3600 va 288

sonlarining eng kichik umum iy karralisining yoyilmasiga

25, 32, 52 ko'paytuvchilar kiradi. Demak, .£(3600,288) =

=

25.32.52 = 7200.

117

www.ziyouz.com kutubxonasi
Berilgan sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish

uchun:

1) berilgan har bir sonning kanonik ko‘rinishi yoziladi;

2) berilgan hamma sonlarning umumiy tub ko‘paytuvchilari

ko‘paytmasi hosil qilinadi, bunda tub ko‘paytuvchilarning har

birini berilgan sonlar yoyilmasiga kirgan eng kichik ko‘rsatkichi

bilan olinadi;

3) bu ko‘paytmaning qiymatini topamiz, u berilgan sonlaming

eng kichik umumiy karralisi boiadi.

5- misol. 60, 252, 264 sonlarining eng katta um um iy

boiuvchisini va eng kichik umumiy karralisini toping.

Y e c h i s h. Har bir son 60 = 22 ■ 3 • 5, 252 = 22 • 32 • 7,

264 = 23 • 3 • 11 ko‘rinishda yoziladi.

Berilgan sonlarning eng katta umumiy boiuvchisini topish

uchun berilgan yoyilmalardagi umumiy tub ko'paytuvchilar

ko'paytmasi hosil qilinadi, bunda har bir ko‘paytuvchini berilgan

sonlarning yoyilmasiga kirgan eng kichik ko‘rsatkichi bilan

olinadi: K(60, 252, 264) = 23 • 32 • 5 • 7 • 11 = 27720.

6- misol. 48 va 245 sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini

va eng kichik umumiy karralisini toping.

Y e c h i s h. Har bir sonni 48 = 24 • 3, 245 = 5 • 72 ko‘rinish-

da yoziladi. Berilgan sonlar yoyilmasida umumiy ko‘paytuv-

chilar bo‘lmaganligi uchun Z)(48,245) = 1, K(48,245) = 10760.

7- misol. 525 va 231 sonlarining eng katta umumiy bo‘luv-

chisini toping.

Teorema. Agar a va b — natural sonlar hamda a - bq + r

bo‘lsa, D(a,b) = D(b,r) bo'ladi, bunda r< b.

525 ni 231 ga qoldiqli bo'lib, qoldiqda 63 hosil bo‘ladi.

Demak, D(525,231) = Z)(231,63). 231 ni 63 ga qoldiqli bo'linadi:

231 = 63 • 3 + 42, ya'ni Z>(231,63) = D(63,42). 63 ni 42 ga

qoldiqli b o ‘linadi: 63 = 42 ■ 1 + 21. D em ak, D(63,42) =

- Z)(42,21). 42 ni 21 ga qoldiqli bo'lganda, 0 ga teng bo‘ladi,

ya’ni D(42,21) = Z)(21,0). 21 bilan 0 ning eng katta umumiy

bo‘luvchisi 21 ga teng. Demak, 21 soni 525 va 231 sonlarining

eng katta umumiy bo'luvchisi, chunki D(525,231) = Z)(231,63) =

= Z)(63,42) = Z)(42,21) = Z)( 21,0) = 21.

Biz bajargan hisoblashlar ko'pincha bunday yoziladi:

525 = 231 • 2 + 63;

231 = 63 • 3 + 42;

42 = 21 - 2 + 0.