Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                  
7-shakl 
ega bo‘lamiz (7-shakl). 
113. 
 
 
   
 
        
 
   
 
        
 
   
 
 
 
  
 
 
  
   
 
            
 
        
 
 
       
 
   
           
 
  bo‘lsin.  U  holda 
      
 
   
  
   
  bo‘lgani  uchun  tenglama 
 
   
 
 =     
 
       
   
     ya‘ni      
 
                      (
                  ) ko‘rinishdagi 
sonlar berilgan tenglamaning yechimi, 
                   qiymatlar  bersak,     ning  cheksiz  ko‘p  natural  qiymatlari  hosil 
bo‘ladi.  
115.  1).      Agar 
   tub  soni     yoki     ning  kanonik  yoyilmasiga  biror     daraja 
ko‘rsatkichi  bilan  kirsa,  u  holda   
       da  ham,  shuningdek,            da  ham 
        ko‘paytuvchi qatnashadi. Agarda   va   larning kanonik yoyilmasida mos 
ravishda 
 
 
    
 
 lar qatnashsa, u holda 
   ning kanonik yoyilmasida   
   
ishtirok 
etadi. Bu holda 
     da           ko‘paytuvchi qatnashadi.                            
 

---

 
 
112 
 
                  bo‘lgani  uchun                    bo‘ladi,  ya‘ni      agar 
           bo‘lsa,                   bo‘lar ekan. 
2). Agar 
   tub soni   yoki   ning kanonik yoyilmasiga biror   daraja ko‘rsatkichi 
bilan  kirsa,  u  holda   
       da  ham,  shuningdek,            da  ham   
 
   
  
   
  
ko‘paytuvchi qatnashadi. 
 
 Agar 
  va   larning kanonik yoyilmasiga mos ravishda  
 
 va 
 
 
 lar tegishli 
bo`lsa, u holda 
   ning kanonik yoyilmasida  
   
 qatnashadi. Bu holda  
       
ning tarkibida qatnashuvchi   
 
     
  
   
 ko`paytuvchiga, 
            ning tarkibidagi 
 
   
   
     
 
 
   
   
     
 
 
     
   
   
   
   
   
       
 
 
ko`paytma mos keladi. Bu yerda  
 
     
   
   
   
   
   
       
  ( 
     
   )
 
 
     
   
   
   
   
       
     
   
     
   
       
  
       
 
     
 
   
   
     
 
   
 
      
 
    
     
    
ya`ni    
 
   
   
     
 
 
   
   
     
 
 
     
   
     
  
Demak, agar 
          bo`lsa, u holda                    bo`ladi.  
 
116. 
  ning barcha natural bo`luvchilari  
 
   
 
       
    
 bo`lsin, u holda biz 
       ∏  
 
    
   
 
uchun formula chiqarishimiz kerak. Bunda  
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
    
 lar ham 
  ning barcha 
bo`luvchilari bo`lgani uchun 
       ∏
 
 
 
    
   
   
    
∏
 
 
 
   
    
 
 
∏
 
 
    
   
 
 
    
    
    
   
  
Bunda     
 
 
       
    
   yoki          √ 
    
   Xususiy holda        
√  
     
  √  
 
    
 
       
117.      Masalaning  shartiga  asosan 
    √ 
    
  ,  bundan 
        ,  ya`ni 
  natural  soni  faqat   ta  bo`luvchiga  ega  bo`lishi  kerak,  demak,  u  tub  son  bo`lishi 
kerak.  Shunday  qilib  o`zining  barcha  natural  bo`luvchilari  ko`paytmasiga  teng 
bo`lgan sonlar natural sonlar to`plami tub sonlar to`plami bilan ustma-ust tushadi. 

---

 
 
113 
 
118. 
  ning kanonik yoyilmasi      
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  bo`lsin. U holda 
 
 
     
      
 
 
   
 
  
       
 
 
  
       
 
 
  
 
  
       
 
 
 
 
 …       
 
 
  
 
  
     
 
 
 
 
 
   
 
 
       
  
 
 
 
  
 
 
 
       
  
 
 
 
  
 
 
 
       
  
 
 
 
  
, ya`ni  
 
 
      ∏
 
   
 
   
   
 
 
 
   
 
   
  
 Tushunarliki,  
 
 
          ,    
 
            
119. 1).
 
 
        
 
  
 
      
 
   
  
 
 
  
 
 
   
  
 
 
  
 
  
 
 
  
 
       
 
2).
 
 
        
 
      
 
   
 
   
  
 
 
  
 
 
   
  
 
 
  
 
      
   
                
 
3).
 
 
        
 
  
 
   
 
   
 
   
 
 
  
 
 
   
  
 
 
  
 
   
 
                       
 
4).
 
 
        
 
  
 
   
 
   
  
 
 
  
 
    
 
       
 
5).
 
 
       
 
  
 
   
 
   
  
 
 
  
 
    
 
       
120. 1).
           
 
      
 
 
  
   
 
 
 
  
   
     
  
 
                       
Ya`ni  
       da           tenglik o`rinli. Shuning uchin ham        – 
mukammal son.  
2).
            
 
       
 
 
  
   
 
  
 
  
    
                           
  
3).
             
 
        
 
 
  
   
 
   
 
  
     
                              . 
121. 
          
 
   
 
   
  
   
   
 
    
   
   
   
                
 
 
    
 
 
   
   
 
 
 
 
  
   
    
 
       ,   ya`ni            
122. 
        ( 
 
   
 
)  
 
   
  
   
 
 
   
  
   
 
 
   
   
 
 
   
   
     
 
   
 
 
   
 
Shart bo`yicha 
               Shuning uchun ham       
 
 
 
 
 
   
  
 
         
Demak   
           
123.  1).  Shartga  ko`ra 
                9-masalada  istalgan  formulaga  asosan 
       √ 
    
          
 
   
 
   Demak,       
 
   
 
  ko`rinishda  bo`lishi  kerak. 
Bulardan 
√  
 
   
 
 
 ( 
 
  
 
)
    
 
   
 
 
          
 
   
 
   
 
  ya`ni 
 
           
 
   
 
, 
 
           
 
   
 
 
ga ega bo`lamiz. Bularga asosan 
                   ,                      
bundan  

---

 
 
114 
 
{
                           
                           
               ekanligi kelib chiqadi va        
 
 
     hosil bo`ladi. 
2).  Shartga  ko`ra  √
 
    
   
  
   
  
  ,    n  ni   
     
 
   
 
  ko`rinishda  izlaymiz.  U 
holda    
  
 
   
 
 
          
 
   
  
   
  
 
ga ega bo`lamiz.  Bundan     
                    ;                      . 
Buni quyidagicha yozib olish mumkin: 
{
                           
                           
        
        
Demak 
      
 
   
 
                    
124. 
  sonining barcha bo`luvchilarini o`sib borish tartibida joylashtirib chiqamiz:  
    
 
   
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     Bularning  soni    
 
      
 
         
 
        ta.  Bularni    2 
tadan  olib, 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
        ning  barcha     ta  ko`paytuvchi  ko`rinishida 
ifodalanishlariga  ega  bo`lamiz.  Ularning  son 
  
 
     
 
         
 
   
 
    ga  teng,  agar 
  
to`liq  kvadrat  bo`lmasa  va 
  
 
     
 
         
 
     
 
    ga  teng,  agar 
   to`liq  kvadrat 
bo`lsa.  Bularni  birlashtirsak, 
   ni     ta  ko`paytuvchi  ko‘rinishda  ifodalashlar  soni 
*
    
 
     
 
        
 
   
 
+ ga teng degan xulosaga kelamiz. 
125. Bizda 
     
 
   
 
   
 
  Bundan                                 
                                                           
                                                            
                                                          . 
Bulardan  
                                  ya`ni 
{
                  
                   
                  
           ga ega bo`lamiz. 
                        √             √                             
Bulardan  
                                                                     
          
 
   
 
            
  126. Masalaning sharti bo`yicha     
     
 
   
 
   
 
va
 
 
   
   
   
 
   
 
,   
 
 
   
 
   
   
   
 
,      
 
 
   
 
   
 
   
   
             

---

 
 
115 
 
{
 
 
 
   (
 
 
)            
  (
 
 
)            
  (
 
 
)            
  {
                                            
                                             
                                             
 
Oxirgi sistemani quyidagicha yozib olish mumkin. 
{
                     
                   
                    
 
Buni tanlash usuli bilan yechamiz: 
      
 
       
 
       
 
   
 
   
 
   
 
   
 
 
                                      bu yerda                      bo`lishi kerak, 
shuning uchun 
                     ,  u holda                         dan      
         kelib chiqadi va bu yechimlar                      tenglamani 
qanoatlantiradi. Shunday qilib 
                   va     
 
   
 
   
 
            
               
127. 
 
   
     tub son bo`lsin, u holda       
 
  
   
        ning mukammal son 
ekanligini ko`rsatamiz. 
     
   
        deb olsak, 
          
 
      
 
   
  
   
 
 
 
  
   
    
   
                
   
      
   
   
  ,  ya`ni    mukammal son. 
128.    Buni  isbotlash  uchun  har  qanday  juft  mukammal  sonning   
 
 
  
   
     
ko`rinishida ifodalanishini ko`rsatish yetarli. Bunda 
 
   
    tub son. Faraz qilaylik, 
     
 
                juft son mukammal son bo`lsin, ya`ni u uchun 
          tenglik bajarilsin. Bundan    
 
      
   
  yoki  
 
   
   
     
        
   
   
Bu  yerdan   
      
 
   
 
   
  
   va     soni   
   
     ga  bo‘linishi  kerak.  U  holda 
      
   
      va         
   
  bo‘ladi. Bu yerdan   va   
   
      lar    ning 
bo‘luvchilari  bo‘lib,  ularning  yig‘indisi  uchun 
 
   
          bajariladi.  U  holda  q 
ning boshqa bo‘luvchilari yo‘q bo‘lishi kerak. Demak,    
      
   
      soni tub 
son ekan, ya‘ni 
      va  
   
    tub son. 
129. 
     
 
   
 
 
 
 
deb 
olsak, 
masalaning 
shartiga 
ko‘ra                                            
          
 
 
 
 
 
   
 
   
  
   
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
  
  
  
   
      
 
      
 
                 
 
 
 
 
 
                              
bu yerda  
 
 
   
  
 toq sonlar.  
Agar 
       bo‘lsa,    
 
      
 
         
 
 
 
        
 
  
 
        
 
 
 
.  Bu 
oxirgi  tenglik  o‘rinli  emas,  chunki  chap  toq  son  o‘ng  tomoni  esa  juft  son.  Demak, 

---

 
 
116 
 
      bo‘lsa.       bo‘lsin. U holda    
 
      
 
         
 
 
  
yoki 
 
 
  
 
     
 
 
 
 
, ya‘ni 
 
 
      
 
  
 
    . Bunda  
 
    juft son, ya‘ni  
 
        , u holda 
            
 
  bundan 
          
 
     
 
                ,   
 
   .  Bunday 
bo‘lishi  uchun  ham  mumkin  emas  chunki  masalaning  shartida 
 
 
  –  toq  tub  son. 
Demak, 
              
      bo‘lsin. Bu holda (1) dan    
 
      
 
          
 
 
 
    
 
    
 
     
  
 
 
 
     
 
   
 
         
 
 
 
.  Bundan 
 
 
           
 
      va       
 
 
  
 
   
 
           
 
    . Bunday bo‘lishi ham mumkin emas. 
 Demak, 
             bo‘lsin. Bu holda (1) dan      
 
       
 
          
 
 
 
 
   
 
      
 
         
 
 
 
. Bundan 5
  
 
   
 
         
 
 
 
   
 
             
 
 
    hamda       
 
    
 
   
 
         
 
    .  Shunday  qilib  berilgan  masalaning 
shartini qanoatlantiruvchi eng kichik natural son 
     
 
              ekan.  
130. Faraz qilaylik 
       
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 bo‘lsin. U holda  
         
 
      
 
            
 
     
а). Agar 
     toq son bo‘lsa,       
 
                 ) ko‘paytuvchilarning har biri 
toq son bo‘lishi kerak, ya‘ni
  
 
                 lar juft bo‘lishi kerak. Bu esa   butun 
sonning  to‘la  kvadratiga teng degani. 
b).  Aksincha, agar 
  biror sonning kvadratiga teng bo‘lsa,  
 
                     lar 
juft  sonlar 
 
 
     lar  esa  toq  natural  sonlar  bo‘lishi  kerak.  U  holda          
∏
      
 
 
 
   
 ham toq son bo‘ladi.