Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Javob: 
                 
7). 
 
 
    
 
    
 
                       taqqoslamani  qaraymiz.  Bu  yerda 
       
 
  bo‘lgani uchun 
  moduli bo‘yicha taqqoslamani qaraymiz. 
 
 
    
 
    
 
                      
 
   
 
    
 
                    
Bu  taqqoslamani  5  moduli  bo‘ycha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi
            dagi 
sonlarni  qo‘yib  sinab  ko‘rish  usuli  bilan  yechamiz.  U  holda 
 
 
          ,   
 
 
           va   
 
            larning    qaralayotgan  taqqoslamaning  yechimi 
ekanligini topamiz. 
a). 
            yechimni  qaraymiz.           
 
  dan  (7)  ga  asosan,  ya‘ni 
    
 
   
 
    
 
             Bu  yerda              
 
         bo‘lgani  uchun 
       
 
          → 
 
          → 
 
        
 
→
                
 
   
       
 
   ning bu qiymatidan foydalanib,  
 
 ni topish uchun quyidagi taqqoslamani 
hosil qilamiz:  
    
  
   
 
    
 
            Bunda           va 
 
 
           
 
        
 
                                    bo‘lgani uchun 
          
 
          → 
 
              
 
    
 
              
 
  Endi 
 ning bu qiymatidan foydalanib,  
 
 ni topish uchun quyidagi taqqoslamani hosil 
qilamiz: 
    
   
   
 
    
 
          .  Bundan           
 
              
 
 
            
 
        
 
→
                  
 
              
 
   Demak, 
berilgan taqqoslamaning bitta yechimi 
              
 
  
b) Endi 
                 
 
              
 
 yechimni qaraymiz. Bu holda (7) ga 
asosan   
     
 
   
 
     
 
          ni hosil qilamiz.  Bu  yerda                 
                va  
 
                           bo‘lgani uchun 
      
 
               
 
           ga ega bo‘lamiz. Bu yerda              va 
  soni 5 ga bo‘linmaydi,  shuning uchun taqqoslama yechimga ega emas. 
c) 
           , ya‘ni           
 
    yechimni  qaraymiz. Bu holda (7) ga asosan  
    
 
   
 
    
 
          ni  hosil  qilamiz.  Bu  yerda                          
         va   
 
        
 
     
 
             (2)                    bo‘lgani 
uchun 
        
 
         →  
 
              
 
               
 
      
  
 
→
                
 
            
 
  ni  hosil  qilamiz. 
 ning  bu  qiymatidan 

---

 
 
198 
 
foydalanib, 
 
 
  ni  topish  uchun  quyidagi  taqqoslamani  hosil  qilamiz:   
     
  
 
 
 
     
 
            
Bu 
yerda
                                   
va 
 
 
                                                           bo‘lgani  uchun 
    
 
          → 
 
                  
 
    
 
→
                
 
      
    
 
  .  Bundan  foydalanib, 
 
 
  ni  topish  uchun 
     
   
   
 
     
 
           
taqqoslamani  tuzib  olamiz.  Bu  yerdan 
    
 
           → 
 
    
 
          
    
 
 kelib chiqadi. 
Javob:
              
 
              
 
   
 
     
8).
)
27
(mod
0
)
(
,
1
5
2
)
(
4




x
f
x
x
x
f
  taqqoslamani yеching.   
3
3
27

.




1
,
0
,
3
mod
0
)
(


x
f
 taqqoslama birta 


3
mod
1

x
 yеchimga 
ega. Bu yеrda 
 
 
'
3
'
1
8
5 va
13
f
x
x
f
x



 va 13 soni 3 ga bo‘linmaydi. Dеmak A 
holga to‘g‘ri kеladi. 
  





 






'
1
1
1
1
1
'
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1 3 ,
(1) 3
1
0 mod 9 , 6 3
13 0 (mod 9),13
2 mod 3 ,
2 (mod 3),
2 3 .    Demak,
1 3
2 3
5 9 ,     ( 5) 9
5
0 (mod 27)
1224 9
995
0 (mod 27),    995
136 mod 3 ,   
1 mod 3 ,   
1 3 ,
x
t
f
t f
t
t
t
t
t
x
t
t
f
t f
t
t
t
t
t t
Z
 




 
 
 
  
   
  
 
 




 
 
  





3
3
5 9
1 3
14 27 .      Demak,
13 mod 27
x
t
t
x
    
  

bеrilgan taqqoslamaning yеchimi. 
291. 1).  
 
 
    
 
    
 
                     ni qaraymiz. 
 Bu taqqoslama 
{
 
 
    
 
    
 
                   
 
 
    
 
    
 
                   
 
ga  teng  kuchli.Buning  birinchisining  yechimlari: 
                    
            (290.1)  misolning  ishlanishiga  qarang).  Endi  sistemadagi  ikkinchi 
taqqoslamani 
yechamiz.Buning 
uchun 
avvalo, 
 
 
    
 
    
 
          
         taqqoslamani yechamiz. Bu taqqoslama  
 
   
 
   
 
               ga 
teng  kuchli.  Buni  3  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi 
       dagi 
chegirmalarni  sinab  ko‘rish  usuli  bilan  yechsak 
                
 
          
 
uning 
yechimi  ekanligini  topamiz.    Bu  holda  (7)  ga  asosan 
    
 
   
 
    
 
           ni 
hosil  qilamiz.  Bu  yerda 
             
 
         bo‘lgani  uchun      
 
 
            
 
           → 
 
         
 
                
 
  ni  hosil  qilamiz. 
Natijada biz berilgan taqqoslama quyidagi taqqoslamalar sistemasiga ekvivalent deya 
olamiz: 
 
a)
{
            
                 
      b)
{
             
               
           c)
{
            
             
    
 

---

 
 
199 
 
 Bu sistemalarni yechamiz.U holda : 
 
    {
          
 
      
 
              {
          
 
  
 
           →{
          
 
 
 
             
 
                
 
           
 
,  ya‘ni 
               . 
 
b)
{
           
 
       
 
           →{
           
 
  
 
           →{
           
 
 
 
         
 
  
 
                  
 
           
 
                    . 
 
c)
{
          
 
      
 
           
→ 
{
          
 
 
 
         
 
→
                 
 
        
   
 
                    
 
 Javob: 
                       
 
            
 
    
 
    
 
                      taqqoslamani  qaraymiz.  Bu 
yerda 
          
 
  bo‘lgani uchun  bu taqqoslama 
{
               
                
 
ga teng kuchli. Bunda birinchisining yechimlari: 
                             
Endi 
                  taqqoslamani  yechamiz.  Buning  uchun  esa          
 
 
  
 
    
 
                    ni  qaraymiz.  Buni  5  moduli  bo‘yicha 
chegirmalarning to‘la sistemasi 
          dagi chegirmalarni sinab ko‘rish usuli bilan 
yechsak, 
                    lar uning yechimi ekanligini topamiz.  
a). Avvalo, 
               ya‘ni           
 
  yechimni qaraylik. Bu holda (7) ga 
asosan   
    
 
   
 
    
 
            ni  hosil  qilamiz.  Bu  yerda               va 
 
 
           
 
       
 
                   bo‘lgani  uchun        
 
           
   
 
                                lekin  2  soni  5ga  bo‘linmaydi,  shuning  uchun 
taqqoslama yechimga ega emas.
 
 
b). 
                                   
 
  ni  qaraymiz.  (7)  ga  asosan 
     
 
   
 
     
 
          .  
Bunda 
 
 
                              va 
 
 
               
 
          
 
                    bo‘lgani uchun 
   
 
              
 
              
 
    
 
               
 
 
          
 
                    

---

 
 
200 
 
c)  Endi 
            ,  ya‘ni             yechimni  qaraylik.  Bu  holda  (7)  ga 
asosan 
 
    
 
   
 
    
 
           
ni 
hosil 
qilamiz. 
Bu 
yerda
                
 
           bo‘lgani  uchun          
 
              
   
 
              
 
                
 
        
 
                  
 
   
        
 
    
 
Demak, berilgan taqqoslamani yechishni  
 
{
            
              
;      
  
    
 {
            
                  {
            
                 {
            
              
  
taqqoslamalar  sistemalarini yechishga keltirdik. Buning birinchisidan 
 
{
      
 
  
 
            →{
      
 
 
 
                           
 
  
 
Ikkinchisidan 
 
{
      
 
  
 
            → {
 
 
           
            
 
  
 
Uchinchisidan 
 
{
          
 
      
 
            →{
      
 
 
 
            →            
 
   
 
To‘rtinchisidan  
 
{
          
 
      
 
            →{
          
 
 
 
          
 
                    
 
        
   
 
  
 
Javob: 
                             
 
 3).
        
 
    
 
    
 
     
 
                       taqqoslamani 
qaraymiz. Bu yerda 
       
 
     bo‘lgani uchun  bu taqqoslama 
{
               
              
 
 
 

---

 
 
201 
 
ga  teng  kuchli.  Buning  birinchisidan   
        
 
    
 
    
 
     
 
      
                 
 
+
 
 
   
 
   
 
                          
 
       
 
 
          
 
             
 
                
Uning 
yechimlari: 
   
                           
Endi 
                  taqqoslamani  yechamiz.  Buning  uchun  esa        
         ning yechimini topishimiz kerak. Bundan  
 
    
 
    
 
    
 
      
              Buni 7moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi               
dagi  chegirmalarni  sinab  ko‘rish  usuli  bilan  yechsak 
                         lar 
uning  yechimi  ekanligini  topamiz.  Bu  7  moduli  bo‘yicha  topilgan  yechimlardan  49 
moduli  bo‘yicha  yechimga  o‘tish  uchun  ularning  har  birini  alohida-alohida  qarab 
chiqamiz. 
 
a). 
             yechim uchun (7)  dan  
    
 
   
 
    
 
           ni hosil 
qilamiz. Bu yerda 
           va  
 
           
 
        
 
        
 
                  
bo‘lgani 
uchun 
   
 
                
 
          → 
 
    
 
         
   
 
→
               
 
b). Endi ikkinchi yechimni 
             →           
 
 qaraymiz. 
(7)  dan  
     
 
   
 
     
 
           ni hosil qilamiz. Bu yerda             va 
 
 
            bo‘lgani uchun    
 
              
 
    
 
              
 
    
                  
 
c).  Uchinchi    yechim 
            →          
 
uchun    (7)  dan   
    
 
 
 
 
    
 
              Bunda          va 
 
           bo‘lgani  uchun    
 
 
            
 
    
 
             
 
                   
e). To‘rtinchi yechim 
                           
 
       
     
 
   
 
     
 
          , bunda          va  
 
          bo‘lgani uchun 
   
 
              
 
                  
 
 ga ega bo‘lamiz. 
Bulardan 
{
             
             
,
   {
             
                   {
             
             
,     
  
  
{
             
                
 
{
            
                {
            
                   
 
 
{
            
             
     {
            
              
 
 
chiziqli taqqoslamalar sistemalariga ega bo‘lamiz. Bularni yechib: 
 

---

 
 
202 
 
 
 
  {
           
 
       
 
           →{
           
 
  
 
              {
 
 
          
 
             
 
  
 
 
 
  {
           
 
       
 
            → {
 
 
     
 
             
 
  
 
 
 
  {
           
 
       
 
           → {
 
 
           
            
 
  
 
 
 
  {
           
 
       
 
               {
  
 
            
           
 
→       
       
         
{
 
 
          
 
                  
 
               
 
  
 
       
 
   {
          
 
      
 
              {
 
 
           
            
 
  
 
       
 
    {
          
 
      
 
            
 
                {
  
 
            
          
 
  {
 
 
           
 
              
 
  
 
 
 
         {
          
 
      
 
           
  {
  
 
           
          
 
  {
 
 
           
 
              
 
   
 
  {
          
 
      
 
            
  {
  
 
            
          
 
  {
 
 
          
 
             
 
  
Javob: 
                                               
 
  
4).
         
 
    
 
    
 
    
 
                        taqqoslamani 
qaraymiz. 
Bu 
yerda 
           
 
 
 
bo‘lgani  uchun    bu  taqqoslama 
                                {
               
                                                                                
 
ga teng kuchli. Buning birinchisidan 
 
 
    
 
    
 
                     Buni 
7 moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi 
              dagi chegirmalarni 
sinab ko‘rish usuli bilan yechsak, 
                     laruning yechimi ekanligini 
topamiz.  

---

 
 
203 
 
Endi (1) dagi ikkinchi taqqoslamani yechamiz. Buning uchun avvalo, 
      
          ni, ya‘ni  
 
    
 
    
 
    
 
                     ni qaraymiz. 
Bu taqqoslama 
  
 
    
 
   
 
          → 
 
    
 
                     ga 
teng kuchli. Buni 5 moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi 
          dagi 
chegirmalarni sinab ko‘rish usuli bilan yechsak, 
                   lar uning 
yechimi ekanligini topamiz.  
Shuning  uchun  ham  birinchi  yechim 
              uchun  (7)  ga  asosan   
    
 
 
 
 
    
 
             Bu yerda             va  
 
        bo‘lganidan 
       
 
                 
 
                
 
              
 
          
   
 
        
 
                   
 
  
Ikkinchi  yechim 
              uchun 
    
 
   
 
    
 
              Bu  yerda  
          
va 
 
 
        
bo‘lganidan 
        
 
                 
 
 
                
 
              
 
               
 
         
 
          
      
 
              
 
           
 
                     
Uchinchi  yechim 
               uchun 
     
 
   
 
     
 
              Bu 
yerda   
            va   
 
             bo‘lganidan            
 
            
         
 
               
 
              
 
             
 
           
           
 
               
 
           
 
  
Shunday qilib,  berilgan taqqoslamani yechishni quyidagi 1-darajali bir noma‘lumli 
taqqoslamalar sistemalarni yechishga keltirdik: 
 
 
 
  {
            
                  
 
  {
             
                   
 
  {
             
              
 
 
 
 
  {
            
                 
 
  {
             
                   
 
  {
             
              
 
 
 
 
  {
            
                
 
  {
             
                  
 
  {
             
              
 
 
Bularni yechib: 
 
 
  {
          
 
      
 
               {
  
 
            
          
 
 
{
 
 
           
          
 
  {
 
 
         
 
          
 
                   
 
             
 
  
ya‘ni 
                  
 
 
  {
           
 
       
 
               {
  
 
            
           
 
  
 

---

 
 
204 
 
{
 
 
           
                  
 
             
 
   ya‘ni                  
 
 
 
  {
           
 
       
 
               {
  
 
            
           
 
  
 
{
 
 
            
                   
 
              
 
                    
 
 
 
  {
            
                  {
          
 
      
 
            
  
{
          
 
  
 
            
   {
          
 
 
 
                        
        
 
             
 
  
 
 
 
  {
             
              
  {
           
 
       
 
                {
           
 
  
 
                
 
{
           
 
 
 
                         
        
 
             
 
  
 
 
 
  {
             
              
 
  {
           
 
       
 
                ,
           
 
  
 
              
 
 
 
{
           
 
 
 
                         
        
 
             
 
  
 
 
 
  {
            
 
              {
          
 
      
 
               {
          
 
  
 
               
 
{
          
 
 
 
                        
        
 
             
 
  
 
 
 
  {
             
             
 
  {
           
 
       
 
               {
           
 
  
 
               
 

---

 
 
205 
 
{
           
 
 
 
                          
         
 
             
 
  
 
 
 
  {
             
             
 
  {
           
 
       
 
               {
           
 
  
 
                
 
{
           
 
 
 
                         
        
 
             
 
  
 
Javob: 
                                                
             
 
    
 
    
 
                    taqqoslamani qaraymiz. Bu 
yerda 
       
 
     bo‘lgani uchun  bu taqqoslama 
                            {
               
                                                                                
 
ga teng kuchli. Buning birinchisidan 
 
 
    
 
    
 
           
 
   
 
    
 
 
                   Buni  5  moduli  bo‘yicha  chegirmalarning  to‘la  sistemasi 
           dagi  chegirmalarni  sinab  ko‘rish  usuli  bilan  yechsak,                   
laruning yechimi ekanligini topamiz.  
Endi  (1)  dagi  ikkinchi  taqqoslamani  yechamiz.  Buning  uchun  avvalo, 
      
          ni,  ya‘ni  
 
    
 
    
 
                    ni  qaraymiz.  Bu 
taqqoslama 
 
 
 
    
 
    
 
                      
 
   
 
   
 
     
             
 
   
 
                         
 
                 Bundan 
                lar berilgan taqqoslamaning yechimi ekanligini topamiz. 
 
 
               –   ni  qaraymiz.        
 
  bo‘lgani  uchun  290-misoldagi  (7)  –
formulaga  asosan 
 
 
  ga  nisbatan 
    
 
   
 
    
 
           taqqoslamaga  ega 
bo‘lamiz.  Bunda
           va   
 
        
 
     
 
           
 
         bo‘lgani 
uchun
     
 
             
 
             
 
        
 
            
 
. 
    ning 
bu  qiymatidan  foydalanib,  navbatdagi  qadamni  amalga  oshiramiz.  U  holda 
 
 
  ga 
nisbatan   
    
 
   
 
    
 
           taqqoslamaga  ega  bo‘lamiz.  Bunda         
    
 
         bo`lgani uchun    
 
          ga ega bo‘lamiz. Bundan  
 
    
 
 
           
 
     
 
 
    Endi  ikkinchi  yechim             ni  qaraymiz.  Bundan              
 
 
bo‘lgani uchun 290-misoldagi (7) –formulaga asosan 
 
 
 ga nisbatan 
    
 
   
 
    
 
 
         taqqoslamaga  ega  bo‘lamiz.  Bunda           va   
 
       
 
     
   bo‘lgani  uchun      
 
               
 
           ni  hosil  qilamiz.    Bu 

---

 
 
206 
 
yerda 
           lekin 2 soni 3ga bo‘linmaydi.Shuning uchun ham oxirgi taqqoslama 
yechimga ega emas. 
 
 
 
    Uchinchi  yechim                ni  qaraymiz.  Bu  holda                 
              bo‘lgani  uchun 
     
 
   
 
     
 
           dan         
 
 
             
 
             
 
             
 
        
 
  ni  hosil  qilamiz. 
Buni 
   ning  ifodasiga  olib  borib  qo‘ysak,               
 
        
 
  ifoda  hosil 
bo‘ladi. 
   ning  bu    ifodasidan  foydalanib,  keyingi  qadamni  amalga  oshiramiz.  U 
holda 
 
 
  ga  nisbatan     
    
 
        
 
           taqqoslama  kelib  chiqadi.  Bunda 
                           bo‘lgani  uchun         
 
               
 
           
 
 
    
 
             
 
 ga ega bo‘lamiz. 
 
 Shunday  qilib  berilgan    taqqoslamani  yechishni  quyidagi  birinchi  darajali 
taqqoslamalar sistemasini yechishga keltirdik: 
 
 
 
)
{
             
             
   
 
 
)
{
             
            
 
 
 
 
)
{
           
            
   
 
 
)
{
           
             
 
 
Endi bularning har birining yechimini izlaymiz. 
 
 
) dan 
{
            
 
       
 
             {
            
 
  
 
          
  {
            
 
 
 
             
 
{
            
 
 
 
         
 
→
             
 
   
 
     
 
 
 
) dan  
{
            
 
       
 
             {
            
 
  
 
             {
            
 
  
 
           
  
 
{
            
 
 
 
          
 
→
              
 
   
 
     
 
 
 
) dan  
 
{
           
 
      
 
             {
           
 
  
 
             {
           
 
  
 
           
  
 

---

 
 
207 
 
{
           
 
 
 
          
 
→
              
 
   
 
     
 
 
 
) dan 
 
{
           
 
      
 
             {
           
 
  
 
             {
           
 
 
 
          
  
 
{
           
 
 
 
     
 
→
             
 
   
 
     
                               
 
6).
          
 
    
 
                      taqqoslamani qaraymiz. Bu 
yerda 
       
 
   
 
  bo‘lgani uchun  bu taqqoslama 
 
                                       {
              
 
 
              
 
 
                                                             
ga teng kuchli. 
a). 
         
 
    
 
                  
 
     taqqoslamani  yechamiz.  Buning 
uchun 
  
 
    
 
                       
 
   
 
                     
 
 
                                        taqqoslamani  yechishimiz  kerak. 
Buning yechimlari 
                dan iborat. 
 
 
              
 
 yechimni qaraymiz. Bundan foydalanib, 
 
 
 ga nisbatan
 
    
 
 
      
 
          taqqoslamani tuzib olamiz. Bunda                       
 
 
           
 
         bo‘lgani uchun        
 
             
 
            
 
 
         
 
             
 
  
 
 
               
 
 yechimni qaraymiz. Bundan foydalanib, 
 
 
 ga nisbatan
 
     
 
 
       
 
          taqqoslamani tuzib olamiz. Bunda              
 
          
bo‘lgani 
uchun
   
 
                 
 
          Bu 
taqqoslama 
ayniy 
taqqoslama bo‘lib, 
 
 
 ning ixtiyoriy qiymati qanoatlantiradi.
 
Endi (1) dagi ikkinchi taqqoslamani 
  
 
    
 
                        
 
 
  
 
                ni  qaraymiz.  Bundan      
 
                         
                 
 
 
                      
 
  ni  qaraymiz.  Bundan  foydalanib, 
 
 
  ga  nisbatan 
    
 
        
 
          taqqoslamani tuzib olamiz. Bunda               
 
     
      bo‘lgani uchun       
 
              
 
              
 
         
 
 
            
 
  

---

 
 
208 
 
 
 
                            
 
    yechimni  qaraymiz.  Bundan  foydalanib 
 
 
 
ga  nisbatan 
     
 
         
 
           taqqoslamani  tuzib  olamiz.  Bunda 
             
 
             bo‘lgani  uchun   
 
             
 
           
 
 
    
 
              
 
  
 
 
                            
 
    yechimni  qaraymiz. Bundan  foydalanib, 
 
 
 
ga  nisbatan 
     
 
         
 
           taqqoslamani  tuzib  olamiz.  Bunda 
             
 
             bo‘lgani  uchun   
 
             
 
           
 
 
    
 
              
 
  
      Bulardan  quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz. 
 
 
  {
              
                 
 
  {
           
               
 
 
 
  {
           
              
 
 
Bularni yechamiz: 
 
 
  dan   
   
{
          
 
      
 
               {
          
 
  
 
                {
          
 
  
 
               
 
{
          
 
 
 
                       
        
 
             
 
  
 
 
 
  dan  
{
          
 
      
 
               {
          
 
  
 
               {
          
 
  
 
                
{
          
 
 
 
                        
         
 
              
 
  
 
 
 
  dan   
 
{
          
 
      
 
               {
          
 
  
 
               {