Soning butun qismi soning moduli

4-ta’rif. Cheksiz davriy o‘nli kasrlar ratsional sonlar to‘plamiga kiradi.
5-ta’rif. Davriy bo‘lmagan cheksiz o‘nli kasrlar irratsional sonlar to‘plamini tashkil etadi.
Ratsional va irratsional sonlar (ya’ni cheksiz davriy va davriy bo‘l-magan o‘nli kasrlar) haqiqiy sonlar deyiladi va R bilan belgilanadi. Ta’rifdan kelib chiqadi, bundan esa hosil bo‘ladi. Haqiqiy sonlarni sonlar o‘qida tasvirlaydigan bo‘lsak, har bir haqiqiy songa o‘qda bitta nuqta mos keladi va aksincha, sonlar o‘qidagi har bir nuqtaga faqat bitta haqiqiy son mos keladi. Demak, haqiqiy sonlar bilan sonlar o‘qidagi nuqtalar orasida o‘zaro bir qiymatli mos kelish mavjud bo‘lib, “Haqiqiy son” o‘rniga “nuqta” ni ishlatish imkonini beradi.
Haqiqiy sonning butun va kasr qismi


1-ta’rif. Berilgan a sondan katta bo‘lmagan butun sonlarning eng kattasiga a sonning butun qismi deyiladi va [a] yoki E(a) bilan belgila-nadi, “a ning butun qismi” yoki “antye a” (antye fransuzcha entiere – butun) deb o‘qiladi. Masalan:
[2,3]=[2,9]=2, [0,1]=[0,98]=0
[-2,5]=[-2,3]=-3, 4 [0,6]=4 0=0

Antyening ba’zi xossalari:
a) bo‘lsa, [a+b]=[a]+[b] bo‘ladi, misol:
[4+5]=[4]+[5]=9
b) bo‘lsa, [a+b]≥[a]+[b] bo‘ladi. (a≥0, b≥0)


Masalan: [4,7]+[5,6]=4+5=9,
[4,7+5,6]=[10,3]=10, demak 10>9
[2,3]+[3,1]=2+3=5; [2,3+3,1]=[5,4]=5; 5=5.


2-ta’rif.a-[a] ayirma a sonning kasr qismi deyiladi ba {a} orqali ifodalanadi. {a}=a-[a], masalan:
{3,4}=3,4-[3,4]=0.4;
{-2,6}=-2,6-[-2,6]=-2,6-(-3)=0,4
Umuman olganda 0≤{a}<1
Agar [a]=[b] bo‘lsa, -1< a-b<1 ekanligini isbot qilamiz:
a =[ a]+{a}, b=[b]+{b} tengliklardan: a-b=[a]+{a}-[b]-{b}=([a]-[b])+({a}-{b})={a}-{b} ni hosil qilamiz. 0≤{a}<1 va 0≤{b}<1 ligini hisobga olib, qarama qarshi ma’nodagi tengsizliklarni ayirish mumkinligini hisobga olib,
-1≤{a}-{b}≤1 ni hosil qilamiz.