Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash. To’g’ri kasr ratsional funksiyalarni integrallash

ratsional funksiyalarni integrallash

ReJA:

• Sodda ratsional kasrlar
• Sodda ratsional kasrlarni integrallash.
• Butun ratsional funksiyalarni integrallash.
• Kasr ratsional funksiyalarni integrallash.

O’tilgan mavzular bo’yicha savol-javob

1. Sodda ratsional funksiyalarga misollar keltiring. 2. Qanday ratsional funksiya to‘g‘ri ratsional kasr, noto‘g‘ri ratsional kasr funksiya deyiladi? 3. To‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyganda nima ishlar bajariladi? 4. To‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyganda aniqmas koeffitsientlarni topish qanday masalaga keltiriladi? 5. Ratsional funksiyaning integrali qanday funksiyalar orqali ifodalanadi? 6. Ratsional funksiyalarni integrallash algoritmini ayting.

Darsning maqsadi va tayanch tushunchalar

• Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash. Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash ni talabalarga o’rgatish.

Tayanch tushunchalar
Aniqmas integral jadvali

Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash.

• Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash.Sodda ratsional kasrlar deb nomlanadigan kasrlar asosan to‘rt xil bo‘ladi. Ratsional funksiyalarni integrallash shu to‘rt xil sodda kasrlarni integrallashga keltiriladi. Shu sababli bu to‘rt xil kasrni integrallash masalasi alohida ahamiyat kasb etadi. Ularning ko‘rinishi quyidagicha:

bunda A, M, N, a, p va q lar haqiqiy sonlar, k>1natural son va p2-4q<0 deb hisoblanadi.

Endi yuqoridagi kasrlarni integrallash masalasiga o‘tamiz.

a) ni integrallash quyidagicha amalga

a) ni integrallash quyidagicha amalga

oshiriladi:

b) ni integrallaymiz (k>1).

•  

c) ni integrallash (p2-4q<0) suratida mahrajining differensialini ajratib olish va mahrajini kvadratlar yig‘indisiga keltirish orqali jadvaldagi integrallarga keltiriladi.

• c) ni integrallash (p2-4q<0) suratida mahrajining differensialini ajratib olish va mahrajini kvadratlar yig‘indisiga keltirish orqali jadvaldagi integrallarga keltiriladi.

+C

d) (k>1) sodda kasrni integrallash uchun x+p/2=z almashtirish bajaramiz, bundan dx=dz, x2+px+q=(x+p/2)2+q-p2/4=z2+a2, bu yerda a2=q-p2/4. U holda

•  

bo’ladi

bo’ladi

Ravshanki

Demak,

integralni hisoblash kifoya bo‘ladi

•  

Ratsional funksiyalarni integrallash.

• Ma’lumki, Rn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an ko‘phad butun ratsional funksiya,

esa kasr ratsional funksiyalar deb ataladi. Butun va kasr ratsional funksiyalar umuman ratsional funksiyalar deb aytiladi. Butun ratsional funksiyani integrallash quyidagicha bajariladi:

•  

Agar bo’lsa to’g’ri
Agar
bo’lsa noto’gri

Misol: hisoblang.

Misol: hisoblang.

Yechish. Integral ostidagi funksiya to‘g‘ri kasrdan iborat. Uni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:

Bundan x3+1=A(x-1)3+Bx(x-1)2+Cx(x-1)+Dx kelib chiqadi. Endi x o‘zgaruvchiga 0, 1, 2 va -1 qiymatlar berib, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bundan A=-1, B=2, C=1, D=2 ni topamiz

•  

Demak,

Demak,

Izoh. Integrallarni hisoblashda har doim ham tayyor sxemalardan foydalanishga harakat qilavermaslik kerak. Xususan,

ekanligidan foydalanish mumkin. U holda,

•  

Mustaqil yechish uchun misol va masalalar

1)Quyidagi sodda kasrlarni integrallang.

a) b) c)

2) Kasr-ratsional funksiyalarni integrallarini toping.

a) b)

c) d)

e) f)

•  

Ratsional funksiyalarni integrallash

B/BX/B JADVALI

Bilaman	Bilishni xohlayman	Bilib oldim

O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar

• 1. Sodda ratsional funksiyalarga misollar keltiring.
• 2. Qanday ratsional funksiya to‘g‘ri ratsional kasr, noto‘g‘ri ratsional kasr funksiya deyiladi?
• 3. To‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyganda nima ishlar bajariladi?
• 4. To‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyganda aniqmas koeffitsientlarni topish qanday masalaga keltiriladi?
• 5. Ratsional funksiyaning integrali qanday funksiyalar orqali ifodalanadi?
• 6. Ratsional funksiyalarni integrallash algoritmini ayting.

Foydalanilgan adabiyotlar

• 1. Т.Азларов, Х.Мансуров, “Математик анализ”, I-том, Т. “Ўқитувчи”, 1994 й, 278-280 б, 283-285 б.
• 2. А.Ғ.Хикматов, Т.Т.Турдиев. “Математик анализ”, Т. “Ўқитувчи”, 1990 й, 186-187 б, 189-192 б.
• 3. Н.А.Фролов, “Курс математического анализа”, I-том, просвещение 1964 г, 286-289 ст., 299-303 ст.

Эътиборингиз
учун рахмат!