Sodda differensial tenglamalar

y =c₁e^{k x} + c₂e^{k x} .
ko’rinishda bo’ladi.

Misol.

y^’’+y^’-2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

Yechish.

Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:

k²+ k-2=0

Uni yechib, k₁=1 va k₂=-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:

y =c₁e^x + c₂e^-2x .
2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: k₁=k₂.

Bu xolda k₁=k₂= .

Bitta hususiy yechim ma’lum

y₁ = e^{k x} = e

Ikkinchi xususiy yechimni y₂ =u(x)e^{k x} shaklda izlaymiz:
y₂ ^’ =(u^’ (x) + k₁ u(x))e^{k x} ,

y₂ ^’’ =(u^’’ (x) +2k₁ u^’(x) + k²₁ u(x))e^{k x} .

Bularni (4.3) ga qo’yib va soddalashtirib
(u^’’ (x) +(2k₁+a₁) u’(x) + (k²₁+k₁a₁+a₂) u(x))e^{k x} =0
xosil qilamiz.

k₁= bo’lganda 2k₁+a₁ =0 va k₁- xarakteristik tenglama karrali ildizi bo’lganidan

u^’’ (x) e^{k x} = 0 yoki u^’’ (x) = 0.
Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz.

Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x.

Demak, ikkinchi xususiy yechim y₂ =xe^{k x} ko’rinishda buladi.

Demak, bu xolda umumiy yechim

y =( c₁+ c₂x)e^{k x}
ko’rinishida bo’ladi.
3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k₁ va k₂ kompleks sonlar bo’lsin:

, ,

.

Xususiy yechimlarni

y₁ =e ^x va y₂ =e ^x

shaklida yozish mumkin.

Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi.

Demak, xususiy yechim

e ^x= e ^xcos( x)+ie ^xsin( x)

bo’lgani uchun e ^xcos( x) , e ^xsin( x) lar (4.3) tenglamaning yechimlari buladi.

Umumiy yechim esa

y= e ^x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x))

ko’rinishda bo’ladi.

Misol.

y^’’ -4y^’+7y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

Yechish.

Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:

k²- 4k+7=0.

Uni yechib, k₁=2+i va k₂=2-i topib , umumiy yechimni xosil kilamiz:

y= e^2x (c₁ cos( x)+c₂ sin( x)).