Skalyar maydonning gradienti, yuksaklik chiziqlari va sirtlari. Vektor maydon, vektor chiziqlar, vektor naychalar. Orientirlangan va orientirlanmagan sirtlar. Vektor maydonning sirt bo‘yicha oqimi. Reja

Vektor maydonning yopiq sirt bo‘yicha oqimini hajm
bo‘yicha olingan integral orqali ifodalash haqidagi
Ostogradskiy teoremasi. 
 
Yopiq sirt bo‘yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan 
chegaralangan fazoviy soha bo‘yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog‘lanishni 
aniqlaymiz. 
Teorema. 
Agar
⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗
vektor maydon proeksiyalari 
sohada o‘zining birinchi tartibli xususiy hosilasi bilan birga 
uzluksiz bo‘lsa, u holda 
yopiq sirt orqali 
⃗
vektor oqimini shu sirt bilan chegaralangan 
hajm 
bo‘yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo‘yicha shakl almashtirish mumkin: 
∯
∭ 
bu yerda integrallash 
sirtning tashqi tomoni bo‘yicha amalga oshiriladi (sirtga o‘tkazilgan 
normal fazoning tashqi qismiga yo‘nalgan). 
(61) formula 
Ostogradskiy formulasi
deyiladi. 

---

Isboti. Faraz qilaylik 
soha 
–
sirtning (va 
sohaning) 
sirtdagi proeksiyasi 
bo‘lsin, 
va 
esa shu sirtning 
pastki va 
yuqoridagi qismlarining 
tenglamasi bo‘lsin (10-chizma). Ushbu
10-chizma. 
∭
uch karrali integralni sirt integraliga almashtiramiz. 
Buning uchun uni ikki karrali integralga keltiramiz va 
bo‘yicha integrallaymiz. Bundan: 
∭
∬ ( ∫
)
∬ ( |
)
∬ (
)
∬ (
)
soha ham 
sirtning, ham 
sirtning 
tekislikdagi proeksiyasi bo‘lgani uchun (11) 
formuladagi ikki karrali integrallarni ularga teng bo‘lgan 
∬
∬
sirt integrallari bilan almashtirish mumkin. Natijada quyidagini hosil qilamiz: 
∭
∬ ∬
Ikkinchi qo‘shiluvchida 
sirtning tashqi tomonini ichkisiga almashtirib, quyidagini 
hosil qilamiz: 

---

∭
∬ ∬
∯
bu yerda 
yopiq sirtning tashqi tomoni olinadi. 
Quyidagi formulalar ham xuddi shunga o‘xshash hosil qilinadi: 
∭
∯
∭
∯
(63), (64), (65) tengliklarni hadma-had qo‘shib, Ostrogradskiyning (61) formulasiga 
kelamiz, shuni isbotlash talab qilingan edi. Bu formula teoremaning shartini qanoatlantiruvchi 
sohalarga bo‘lish mumkin bo‘lgan istalgan 
fazoviy soha uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Bu formula 
yordamida yopiq sirtlar bo‘yicha sirt integrallarini hisoblash qulay bo‘ladi.