Skalyar maydonning gradienti, yuksaklik chiziqlari va sirtlari. Vektor maydon, vektor chiziqlar, vektor naychalar. Orientirlangan va orientirlanmagan sirtlar. Vektor maydonning sirt bo‘yicha oqimi. Reja

Sirt orqali o
‘
tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar
maydonidagi fizik ma’nosi. 
 
Faraz qilaylik, 
fazoning 
sohasida
⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗
vektor maydon berilgan bo‘lsin, bu yerda 
shu sohada uzluksiz 
bo‘lgan funksiyalar. 
Bu sohada orientirlangan 
sirtni olamiz, uning har bir nuqtasida normalning musbat 
yo‘nalishi 
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗
birlik vektor orqali aniqlansin, bu yerda 
normal 
⃗⃗⃗⃗⃗
ning koordinatalar o‘qlari bilan 
tashkil qilgan burchaklari. 
Ta’rif.
⃗
vektorning 
sirt orqali o‘tuvchi 
oqimi 
deb quyidagi ikkinchi tur 
integraliga aytiladi: 
∬
(8) formulani
∬[ ]

---

ko‘rinishda yoki yanada soddaroq 
∬ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
ko‘rinishda yozish mumkin, chunki 
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 
Bu yerda 
ifoda 
sirt 
yuzining elementi. (60) formula 
⃗
vektorning 
oqimini vektor yozuvida ifodalaydi. 
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, 
⃗
vektor 
oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini 
orqali aniqlasin. Bu tezlik vektori har bir 
nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yo‘nalish, vektor chiziqlari esa suyuqlikning oqim 
chiziqlari bo‘ladi (8-chizma). 
8-chizma. 
9-chizma. 
sirt orqali vaqt birligi ichida oqib o‘tadigan suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun 
sirtda 
nuqtani va sirtning 
elementini qayd qilamiz. 
Vaqt birligida bu element orqali oqib o‘tgan suyuqlik miqdori asosi 
va yasovchisi 
bo‘lgan silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini 
⃗⃗⃗⃗⃗
normal birlik vektoriga proeksiyalash yo‘li bilan hosil qilinadi. shuning uchun silindrning hajmi
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
kattalikka teng bo‘ladi. Vaqt birligi ichida butun 
sirt bo‘yicha oqib o‘tgan suyuqlikning to‘liq 
hajmi yoki suyuqlik miqdori 
bo‘yicha integrallash natijasida hosil bo‘ladi: 
∬ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Bu natijani (60) formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz: 
sirt orqali o‘tayotgan 
⃗
tezlik vektori 
oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida sirt orientatsiyalangan yo‘nalishda oqib 
o‘tgan suyuqlik miqdoridir. Bektorlar oqimining fizik ma’nosi ana shundan iborat. 
sirt 
fazoning biror sohasini chegaralovchi yopiq sirt bo‘lgan hol ayniqsa katta qiziqish o‘yg‘otadi. Bu 
holda 
⃗⃗⃗⃗⃗
normal vektorini doim fazoning tashqi qismiga yo‘naltirishga shartlashib olamiz (4-

---

chizma). Normal tomoniga qarab harakat sirtning tegishli joyida suyuqlik 
sohadan oqib 
chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa suyuqlik sirtning 
tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi. 
yopiq sirt bo‘yicha olingan integralning o‘zi 
esa 
∯ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
 
ko‘rinishda belgilanadi va 
sirtdan oqib chiqayotgan suyuqlik bilan unga oqib kirayotgan 
suyuqlik orasidagi farqni beradi. Bunda, agar 
bo‘lsa, 
sohaga undan qancha suyuqlik 
oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi. 
Agar 
bo‘lsa, u holda 
sohadan unga oqib kiradigan suyuqlikdan ko‘proq suv oqib 
chiqadi. 
Agar 
bo‘lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko‘rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan 
uzoqlashadigan joylar borligini ko‘rsatadi (masalan, bug‘lanadi). Shunday qilib, 
∯ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi.