Sirtlarnin o‘zaro kesishuvi reja

4.17. SIRTLARNIN  O‘ZARO KESISHUVI 

Reja: 

1.  Konus bilan silindrning kesishuvi.  

2.  Silindr bilan silindrning o’zaro kesishish chizig’ini yasash. 

3.  Sharlar usuli 

4.  Qo‘zg‘almas markazli konsentrik yordamchi sharlar usuli 

5.  Ekssentrik sharlar usuli 

6.  Aylanish sirtlari kesishuvining xususiy hollari 

 

Mashina  detallarini  tayyorlash  jarayonida  detallar  sirtlarining  o‘zaro  kesishuv 

chizig‘ini  yasashga  to‘g‘ri  keladi.  Sirtlarning  kesishuv  chiziqlari  sirtlar  uchun 

umumiy  bo‘lgan  nuqtalar  to‘plamidan  iborat  bo‘ladi.  Kesishuv  chizig‘ini  yasash 

uchun  xuddi  shunday  nuqtalar  aniqlanadi  va  ular  ketma-ket  tutashtiriladi. 

Sirtlarning  kesishuv  chizig‘ini  qurish  uchun  yordamchi  kesuvchi  sirtlardan 

foydalaniladi.  Yordamchi  kesuvchi  sirtning  vaziyatini  shunday  tanlab  olish 

kerakki,  toki  u  kesuvchi  sirtlarni  to‘g‘ri  chiziqlar  yoki  aylanalar  bo‘yicha  kesib 

o‘tsin.  Yordamchi  kesuvchi  sirtlar  sifatida  tekislik,  shar,  silindr  yoki  konus 

sirtlaridan foydalaniladi.  

Yordamchi kesuvchi sirtlar usulining mohiyati quyidagilardan iborat: 



 

Yordamchi kesuvchi sirt bilan berilgan sirtlarni kesiladi. 



 

Yordamchi kesuvchi sirt bilan berilgan sirtlarning har birining kesishish 

chizig‘i yasaladi. 



 

Kesishish chiziqlarining o‘zaro kesishuv nuqtalari izlanayotgan kesishuv 

chizig‘iga tegishli nuqtalarni beradi. 

Kesuvchi sirtlarni ketma-ket o‘tkazish natijasida kerakli miqdordagi nuqtalar qatori 

aniqlanadi.  Ushbu  kursda  sirtlarning  o‘zaro  kesishuv  chizig‘ini aniqlashning  ikki: 

kesuvchi tekisliklar usuli va kesuvchi sharlar usulini ko‘rib chiqamiz. 

 

 

Konus bilan silindrning kesishuvi.  

Konus bilan silindr sirtlari o’zaro kesishganda fazoviy, xususiy hollarda esa tekis 

egri chiziq hosil bo’ladi. 

Asosi bir tekislikda yotuvchi konus va silindr sirtlarini kesishish chizig’ini yasash 

uchun konusning S2 uchidan silindr yasovchilariga parallel qilib kesuvchi 

tekisliklar o’tkaziladi (12.12-rasm). 

 

12.12-rasm 

Bunda  istalgan  P  tekislik  konusni  S2B1B2  uchburchak  va  silindrni  esa  A1,  A2 

nuqtalardan  o’tuvchi  yasovchilari  bo’yicha  kesishishi  natijasida  kesishish 

chizig’ining  1,  2,  3,  4  nuqtalari  hosil  bo’ladi.  12.13-rasmda  asoslari  H  tekislikda 

yotgan  konus  bilan  silindr  sirtlarining  kesishish  chizig’ini  yasash  chizmada 

ko’rsatilgan.  Buning  uchun  sirtlarga  urinuvchi  yordamchi  kesuvchi  P1,  …  P4 

tekisliklarning P1H, … P4H izlari yasaladi. 

 

12.13-rasm 

Konus  bilan  silindrning  xarakterli  nuqtalarini  aniqlash  konus  bilan  konusning 

o’zaro  kesishganidek  bajariladi.  Kesishish  chizig’ining  oraliq  nuqtalari  P1  va  P4 

tekisliklar  orasidagi  yordamchi  tekisliklar  orqali  yasaladi.  Hosil  bo’lgan  barcha 

kesishish nuqtalari ketma-ket silliq egri chiziq bilan tutashtiriladi. 

 

Silindr bilan silindrning o’zaro kesishish chizig’ini yasash. 

Silindr  bilan  silindr  sirti  o’zaro  kesishib,  fazoviy  egri  chiziq  xosil  qiladi.  Bunda 

yordamchi  tekisliklar  berilgan  silindrlar  yasovchilariga  parallel  holda  o’tkaziladi 

Berilgan  silindrlarning  o’zaro  kesishish  chizig’ining  1,2,3,4  nuqtalarini  yasash 

12.14-  rasmda  ko’rsatilgan.  Bu  nuqtalar  Q  tekislikka  parallel  bo’lgan  ixtiyoriy 

yordamchi va ikki silindrni kesuvchi P tekislikni o’tkazish bilan yasalgan. 12.15-

rasmdagi  chizmada  asoslari  H  tekislikda  yotgan  ikki  silindrning  kesishish 

chizig’ini  yasash  ko’rsatilgan.  Silindr  sirtlarining  biriga  urinib,  ikkinchisini 

kesuvchi  yordamchi  P1,…,  P4  tekisliklarning  gorizontal  P1H,…  P4H  izlari 

o’tkaziladi. Bunda P1H║P4H║QH bo’ladi. 

 

Kesishish chizig’ining xarakterli nuqtalari xuddi konus bilan konusning yoki konus 

bilan silindr kesishish chizig’ining xarakterli nuqtalari kabi topiladi. Bu A(A', A"), 

B(B',  B"),  C(C',  C")  nuqtalarning  gorizontal  proyeksiyalari  P2H,  P3H…,  tekislik 

izlari yordamida yasaladi.  Kesishish chizig’ining boshqa oraliq nuqtalari P parallel 

yordamchi tekisliklar 

o’tkazish bilan yasaladi. Hosil bo’lgan barcha kesishish nuqtalari o’zaro silliq egri 

chiziq  bilan  birlashtiriladi.  Prizma  bilan  silindrning  o’zaro  kesishish  chizig’ini 

yasash algoritmi yuqorida bayon etilgan ketma-ketlikda bajariladi. 

2. Sharlar usuli 

Aylanish  sirtlarining  o‘zaro  kesishuv  chiziqlarini  yasashda,  ayrim  hollarda, 

yordamchi sharlardan foydalanilsa masalani yechish bir muncha osonlashadi. 

Bu usul quyidagi holga asoslangan bo‘lib, unga binoan, kesuvchi sharning markazi 

aylanish  sirtining  markaziy  o‘qiga  tegishli  bo‘lsa,  ularning  kesishish  chizig‘i 

aylanadan  iborat  bo‘ladi,  hamda  aylana  tekisligi  sirtlarning  aylanish  o‘qiga 

perpendikulyar yo‘nalgan bo‘ladi (7.4-shakl).  

 

7.4-shakl 

O‘qlari  umumiy  bo‘lgan  aylanish  sirtlar  ularning  bosh  meridianlarini  kesishish 

nuqtalaridan  o‘tgan  aylanalar  bo‘ylab  kesadi.  Agar  aylanish  sirtining  o‘qi 

proeksiyalar  tekisligi  П

1

  yoki  П

2

  ga  perpendikulyar  bo‘lsa,  aylana  (kesishish 

chizig‘i) П

1

  yoki П

2

 tekislikka  o‘zgarmay proeksiyalanadi.  П

2

  yoki  П

1

 tekislikka 

esa to‘g‘ri chiziq tarzida proeksiyalanadi (7.4-shakl). 

Aylanish sirtlarini kesishish chizig‘ini yasashda quyidagi ikki usul mavjud: 

1. 

Konsentrik sharlar usuli. 

2. 

Ekssentrik sharlar usuli. 

3. Qo‘zg‘almas markazli konsentrik yordamchi sharlar usuli 

Ikki aylanish sirtining o‘qlari umumiy nuqtaga ega bo‘lsa, bu o‘qlar bitta tekislikni 

tashkil qiladi. Bu tekislik har ikkala sirt uchun simmetriya tekisligi bo‘ladi. 

Yordamchi  kesuvchi  konsentrik  sharlar  usulini  quyidagi  shartlar  qanoatlantirgan 

hollardagina qo‘llash mumkin: 



 

o‘zaro kesishuvchi sirtlar aylanish sirtlari bo‘lishi shart; 



 

aylanish sirtlarining o‘qlari o‘zaro kesishgan bo‘lishi kerak; 



 

aylanish  sirtlarining  o‘qlari  (yoki  simmetriya  tekisligi)  proeksiyalar 

tekisliklarining  biriga  parallel  bo‘lishi  yoki  sirt  o‘qlarining  biri  proeksiyalar 

tekisliklarining  biriga  parallel,  ikkinchi  o‘q  esa  ikkinchi  proeksiyalar  tekisligiga 

perpendikulyar bo‘lishi kerak. 

Yordamchi  kesuvchi  konsentrik  sharlarning  markazi  sirtlarning  o‘qlari  kesishgan 

nuqtasida bo‘ladi. 7.5–shaklda o‘qlari umumiy O(O

1

,  O

2

)  nuqtada  kesishuvchi  va 

simmetriya  tekisligi  П

2

  ga  parallel  bo‘lgan  aylanish  konusi  va  silindr  sirtlari 

berilgan. Bu sirtlarning kesishish chizig‘ini yasash uchun O

2

 nuqtani markaz qilib, 

R  radiusli  Ω(Ω

2

)  shar  chiziladi.  Ω  shar  konus  sirti  bilan  umumiy  o‘qqa  ega 

bo‘lgani  uchun  ular  ℓ(ℓ

1

,ℓ

2

)  va  ℓ

1

(ℓ

1

1

,ℓ

1

2

)  aylanalar  bo‘yicha  kesishadi.  7.5–

shaklda bu aylanalarning  П

2

 tekislikdagi proeksiyalari A

2

1

A

2

2

  va B

2

1

B

2

2

  kesmalar 

tarzida tasvirlangan.  

Shuningdek, bu shar silindr sirti bilan umumiy o‘qqa ega bo‘lgani uchun C

2

1

C

2

2

 va 

D

2

1

D

2

2

  kesmalar  ko‘rinishidagi  aylanalar  bo‘yicha  kesishadi.  Bu  aylanalarning 

o‘zaro  kesishish  7

2

,  8

2

,  9

2

  va  10

2

  nuqtalari  har  ikki  sirt  uchun  umumiy  bo‘lgan 

nuqtalarning  frontal  proeksiyalari  bo‘ladi.  O

2

  nuqtani  markaz  qilib,  konsentrik 

sharlar  chiziladi,  ular  yordamida  kesishuvchi  sirtlar  uchun  umumiy  bo‘lgan 

nuqtalarni yasash mumkin. Bu nuqtalarning geometrik o‘rni bo‘lgan m

2

 va n

2

 egri 

chiziqlar sirtlarning kesishish chizig‘i bo‘ladi.  

Sirtlarning  frontal  ocherklarining  1

2

,  2

2

,  3

2

,  4

2

  kesishish  nuqtalari  bu  sirtlar 

kesishish  chizig‘ining  xarakterli  nuqtalari  hisoblanadi.  O

2

  nuqtadan  eng  uzoqda 

joylashgan  3

2

  va  4

2

  xarakterli  nuqtalar  orqali  o‘tuvchi  kesuvchi  sharning  radiusi 

R

max

 ga teng bo‘ladi.  

Kesishish  chizig‘ining  xarakterli  nuqtalaridan  yana  bir  juftini  kesishuvchi 

sirtlarining  birortasiga  urinma  bo‘lgan  R

min

  radiusli  shar  o‘tkazish  yo‘li  bilan 

aniqlanadi.  

Eng kichik sharning R

min

 radiusi quyidagicha aniqlanadi (7.5-shakl): O

2

 nuqtadan 

berilgan  sirtlardan  birining  yasovchisiga  (O

2

E

2

  konus  yasovchisiga,  O

2

F

2

  esa 

silindr  yasovchisiga)  perpendikulyarlar  o‘tkaziladi.  Shakldan  O

2

E

2

>O

2

F

2

  ekanligi  

ko‘rinib  turibdi.  R

min

=O

2

E

2

  qabul  qilinadi.  Agar  O

2

E

2

2

F

2

  bo‘lsa  edi,  u  holda 

R

min

=O

2

F

2

 deb qabul qilinar edi.  

Agar  O

2

E

2

=O

2

F

2

=R

min

  bo‘lganda,  eng  kichik  shar  ikkala  sirtga  urinma  bo‘ladi. 

Bunda sirtlarning kesishish chizig‘i ikkita tekis egri chiziqqa ajraladi.  

Shunday  qilib,  eng  kichik  radiusli  sharni  shunday  tanlash  kerakki,  u  sirtlarning 

biriga urinma bo‘lib, ikkinchi sirtni esa kesib o‘tsin.  

 

 

 

 

7.5-shakl 

Konus  sirtiga  urinma  bo‘lgan  R

min

  radiusli  shar  o‘tkazish  bilan  yasaladigan  egri 

chiziqning 5, 6 xarakterli nuqtalarining vaziyati aniqlangan. Kesishish chizig‘ining 

qolgan  nuqtalarini  yasash  uchun  R

max

  va  R

min

  radiusli  sharlar  oralig‘ida  cheksiz 

ko‘p sharlar o‘tkazish  mumkin. Shunday qilib, konsentrik sharlar usuli bilan ikki 

aylanish sirtining kesishish chiziqlarini yasash quyidagi sxema bo‘yicha bajariladi: 



 

ikki  aylanish  sirti  o‘qlarining  kesishish  nuqtasi  konsentrik  sharlar  markazi 

sifatida qabul qilinadi;  



 

sirtlarning  frontal  yoki  gorizontal  ocherklarining  kesishish  nuqtalari 

xarakterli nuqtalar sifatida belgilanadi va R

max

 radiusli shar aniqlanadi; 



 

eng  kichik  R

min

  radiusli  shar  chiziladi.  Natijada,  yana  bir  juft  xarakterli 

nuqtalar aniqlanadi; 



 

oraliq sharlar o‘tkazilib oraliq nuqtalar topiladi. 

Ekssentrik sharlar usuli 

Markazlari biror aylanma sirt o’qini turli nuqtalarida joylashgan sferalar 

ekssentrik sferalar deb yuritiladi. 11.10–rasmda konus o’qi va sfera markazi O (O', 

O") bitta frontal simmetriya tekisligida joylashgan. 

 

Bu  ikki  sirtning  kesishish  chizig’ini  yasash  uchun  avvalo  ularning  frontal 

ocherkalarining  kesishish  nuqtalari  1"  va  2"  belgilanadi.  Konus  o’qidagi  O1" 

nuqtani markaz qilib olib, R1 radiusli sfera yordamida kesishish chizig’ining 3(3', 

3") 4(4', 4") nuqtalari yasalgan. Shuningdek, konus o’qidagi O2" nuqtani markaz 

qilib  olib,  R2  radiusli  sfera  yordamida  5(5',  5") 6(6',  6")  nuqtalarning  vaziyati 

aniqlangan. Xuddi shu tarzda konus o’qidagi ixtiyoriy nuqtalarni markaz qilib olib, 

ixtiyoriy  radiuslar  bilan  sferalar  chizish  yordamida  ikkala  sirtning  kesishish 

chizig’i m (m', m") yasalgan. Aylanma konus va tor sirtlarning kesishish chizig’ini 

yasash frontal proyeksiya tekisligida ko’rsatilgan (12.11-rasm).  Konusning o’qi i" 

va  tor  yasovchilarining  markazlari  yotuvchi  n"  chiziq  bitta  frontal  tekislikda 

joylashgan.  Bu  sirtlarning  kesishish  chizig’ini  yasash  uchun  torning  frontal 

proyeksiya tekisligidagi i1"  o’qi orqali NIV  frontal proyeksiyalovchi tekislikning 

izi  o’tkaziladi.  Bu  tekislik  torni  n"  markazlar  chizig’ini  ixtiyoriy  A1"  nuqtada 

kesadi.  Bunda  N1V  tekislik  torni  l1"  aylana  bo’yicha  kesadi.  l1"  aylananing 

markazi  A1"  nuqtadan  aylana  tekisligiga  perpendikulyar  chiqariladi.  Uning 

aylanma konus o’qi i" bilan kesishish nuqtasi O1" belgilanadi. O1" nuqtani markaz 

qilib  olib,  torning  l1"  aylanasidan  o’tuvchi  R1  radiusli  sfera  chiziladi.  Bu 

yordamchi sfera konus bilan l2" va l3" aylanalar bo’yicha va tor sirti bilan l1" va 

l4" aylanalar bo’yicha kesishadi. l1" va l2" aylanalarning kesishish nuqtalari 3" 4" 

hamda  l3"  va  l4"  aylanalarning  kesishish  nuqtalari  5" 6"  izlanayotgan  egri 

chiziqning nuqtalari bo’ladi. 

 

 

Aylanma  konus  va  tor  sirtlar  kesishish  chizig’ining  xarakterli  A",  B"  va  C" 

nuqtalari  bu  sirtlarni  frontal  ocherklarining  kesishish  nuqtalari  yordamida 

aniqlangan.  Sirtlar o’qlarining kesishish nuqtasi O2" orqali tor sirtga urinma qilib 

o’tkazilgan  F"  sfera  sirti  orqali  A"  va  7"  xarakterli  nuqtalar  aniqlangan.  Bu 

nuqtalar egrilikning burilish nuqtalari bo’ladi. Torning i1" aylanish o’qi orqali bir 

necha frontal proyeksiyalovchi tekisliklar izlarini o’tkazib va bu tekisliklarda hosil 

bo’lgan  aylanalar  orqali  markazi  konus  o’qida  turlicha  joylashgan  yordamchi 

sferalar o’tkazib, egri chiziqning qolgan oraliqnuqtalari yasaladi. 

 

5. Aylanish sirtlari kesishuvining xususiy hollari 

Ba’zi  hollarda  kesuvchi  shar  har  ikki  kesishuvchi  sirtning  yasovchilariga  urinib 

o‘tadi. Bunda sirtlarning kesishuv chiziqlari ikkita 2-tartibli tekis egri chiziqlardan 

iborat  bo‘ladi.  Kesim  yuzalarining  proeksiyalari  proeksiya  tekisliklariga  nisbatan 

proeksiyalovchi vaziyatdagi tekislik bo‘lib, tasvirda ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziq 

kesmasi ko‘rinishida bo‘ladi

.  

 

7.7-shakl 

7.7-shaklda  konus  bilan  silindr  kesishuvining  xususiy  holi  keltirilgan.  Yordamchi 

kesuvchi shar konus va silindrlarning yasovchilariga mos ravishda 1

2

, 2

2

 va 3

2

, 4

2

 

nuqtalarda  urinib  o‘tadi.  Hosil  bo‘lgan  1

2

2

2

  va  3

2

4

2

  kesmalar  uchrashib  5

2

6

2

 

nuqtalarni  beradi.  Kesishuvchi  sirtlarning  ocherklari  kesishgan  tayanch  nuqtalar 

A

2

,  B

2

  va  C

2

,  D

2

  lar  tutashtirilganda,  ular  5

2

6

2

  nuqtadan  o‘tadi.  A

2

,  B

2

  va  C

2

,  D

2

 

chiziqlar  sirtlarni  o‘zaro  kesishuv  chizig‘i  bo‘lib,  ular  kesim  chizig‘ining  frontal 

proeksiyasidir. 

 

Nazorat savollari 

 

1. Ko‘pyoqlarni o‘zaro kesishish chizig‘i qanday usulda aniqlanadi? 

2. Ko‘pyoq bilan egri sirtning kesishuv chizig‘i qanday usulda aniqlanadi? 

3. Qo‘zg‘almas markazli konsentrik yordamchi sharlar usuli deb nimaga 

aytiladi? 

4. Ekssentrik yordamchi sharlar usuli deb nimaga aytiladi? 

5. Ikkinchi tartibli sirtlar kesishuvining xususiy hollarida qanday egri chiziqlar 

hosil bo‘ladi? 

 

 

 

 

D

2