Simmetrik ko`phadlar Reja

g(y1,...,yn) = g0(y1,...,yn-1)+....+gk(y1,...,yn-1)ynk , k = degng,

• 
  g(y1,...,yn) = g0(y1,...,yn-1)+....+gk(y1,...,yn-1)ynk , k = degng,
  
• 
  Agar g0 = 0 bo`lsa, u holda g = ynh, bunda hA[y1,...,yn]. olishimizga ko`ra snh(s1,....,sn) = 0, A[x1,...,xn] –halqa esa butunlik sohasi , u holda bundan h(s1,....,sn) = 0 tenglik kelib chiqadi. Buni esa bo`lishi mumkin emas, chunki deg h(y1,...,yn) = deg g(y1,....,yn)-1.Demak, g0  0 bo`lishi kerak. Endi A[x1,...,xn] da quyidagi ayniyatni qaraymiz
  
• 
  g0(s1,...,sn-1)+....+gk(s1,...sn-1)snk = g(s1,...,sn) = 0
  
• 
  xn o`rniga 0 qo`yamiz. U holda birinchi hadidan tashqari hamma hadlari 0 ga teng bo`ladi va biz quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
  
• 
  g0((s1)0,....,(sn-1)0) = 0,
  
• 
  bunda (s1)0,....,(sn-1)0 - x1,...,xn-1 o`zgaruvchilarning elementar simmetrik ko`phadi.
  
• 
  Olishimizga ko`ra induksiya bo`yicha ular A da chiziqli erkli. Shu vaqtda bizda g0  0. Olingan qarama-qarshilik yagonalikni isbotlaydi.
  

Isbotni birinchi qismidan foydalanib g ko`phadni amaliyotda ham topish mumkin.Bundan tashqari, yuqoridagi fikrlashlardan qidirilayotgan g ning koeffisientlari berilgan f ko`phadning koeffisientlaridan tuzilgan A halqaning halqa ostisida yotadi.Xususan, agar A=Z bo`lsa, f va g ko`phadning koeffisientlari butun sonlar bo`ladi.

• 
  Isbotni birinchi qismidan foydalanib g ko`phadni amaliyotda ham topish mumkin.Bundan tashqari, yuqoridagi fikrlashlardan qidirilayotgan g ning koeffisientlari berilgan f ko`phadning koeffisientlaridan tuzilgan A halqaning halqa ostisida yotadi.Xususan, agar A=Z bo`lsa, f va g ko`phadning koeffisientlari butun sonlar bo`ladi.
  
• 
  Natija. f(x) = xn+a1xn-1+...+an – ko`phad Р maydon ustidagi unitary ko`phad bo`lsin, c1,c2,...cn lar uning biror F  P maydondagi ildizlari bo`lsin. bundan tashqari, h(x1,...,xn) - P[x1,...,xn] dagi simmetrik ko`phad bo`lsin. U holda хi o`rniga сi, i = 1,2,...,n qo`yishdan hosil bo`lgan h(c1,...,cn) qiymat P maydonda yotadi.