Shvarts fonari silliq (egri) sirt maydonini ko'p yuzli maydonlarning chegarasi sifatida aniqlash qiyinligining patologik misolidir

---

Shvarts chiroqi
Matematikada 
Shvarts fonari
silliq (egri) sirt maydonini ko'p 
yuzli
maydonlarning chegarasi
sifatida aniqlash qiyinligining 
patologik misolidir
. 
[1]
 U silindrga nuqta
yoʻnalishi boʻyicha
yaqinlashuvchi, lekin maydonlari silindr maydoniga yaqinlashmaydigan 
toʻgʻri aylana silindrga
koʻp qirrali yaqinlashuvlar turkumidan iborat . 
Silindrsimon qog'oz chiroqqa
o'xshashligi yoki
Shvartsning botinkasi sifatida u Xitoy fonari
sifatida ham tanilgan . "Shvars fonari" va
"Shvars etik" nomlari matematik 
Hermann Shvartsdan
.
Har bir cho'qqidagi burchaklar yig'indisi ikkita tekis burchakka teng (
radyan). Natijada,
Shvarts fonarini tekis qog'ozdan yig'ish mumkin. Bu buklangan sirt uchun 
burma naqsh , teng
yon tomonli uchburchaklar
 tomonidan qog'oz 
tessellation , shuningdek, 
Yoshimura naqsh
 deb
ataladi , 
[2]
Y. Yoshimura eksenel siqilish ostida silindrsimon yuzalar 
Yoshimura burilish
naqsh
ustida ish keyin, qaysi bo'lishi mumkin. shakli bo'yicha Shvarts fonariga o'xshash. 
[3]
Schwarz etik Berlin 
Germaniya texnologiya muzeyida namoyish etilmoqda.

---

Shvarts tomonidan ko'rib chiqilgan diskret ko'p qirrali yaqinlashuvni ikkita parametr bilan
tavsiflash mumkin: va . Tsilindr parallel tekisliklar bilan kesilgan
doiralar. Ushbu doiralarning
har biri o'z ichiga oladi
Shvarts fonarining uchlari aylana bo'ylab teng masofada ( 
birlik
doiralar
 uchun ) aylana masofada joylashgan.
bir-biridan. Muhimi, cho'qqilar bosqichma-
bosqich siljishi uchun joylashtirilgan
har bir tilim bilan. 
[4] [5]
From these vertices, the Schwarz lantern is defined as a polyhedral surface formed from
isosceles triangles
. Each triangle has as its base two consecutive vertices along one of the
circular slices, and as its apex a vertex from an adjacent cycle. These triangles meet edge-
to-edge to form a polyhedral 
manifold
, topologically equivalent to the cylinder that is being
approximated.
As Schwarz showed, it is not sufficient to simply increase and if we wish for the 
surface
area
 of the polyhedron to converge to the surface area of the curved surface. Depending on
the relation of and the area of the lantern can converge to the area of the cylinder, to a
limit arbitrarily larger than the area of the cylinder, to infinity or in other words to diverge. Thus,
the Schwarz lantern demonstrates that simply connecting 
inscribed
vertices is not enough to
ensure surface area convergence.
[4][5]
In the 
work of Archimedes
 it already appears that the length of a circle can be approximated
by the length of regular polyhedra inscribed or circumscribed in the circle.
[6][7]
In general, for
smooth
or 
rectifiable curves
their length can be defined as the 
supremum
of the lengths of
Qurilish
Ikki parametr o'rtasidagi turli munosabatlar uchun Shvarts fonarining yaqinlashishi (yoki yo'qligi) animatsiyasi
Tarix va motivatsiya

---

polygonal curves inscribed in them. The Schwarz lantern shows that 
surface area
cannot be
defined as the supremum of inscribed polyhedral surfaces.
[8]
Schwarz devised his construction in the late 19th century as a counterexample to the
erroneous definition in 
J. A. Serret
's book 
Cours de calcul differentiel et integral
,
[9]
which
incorrectly states that:
Soit une portion de surface courbe terminee par un contour ;
nous nommerons aire de cette surface la limite vers laquelle
tend l'aire d'une surface polyedrale inscrite formee de faces
triangulaires et terminee par un contour polygonal ayant pour
limite le contour .
Il faut demontrer que la limite existe et qu'elle est
independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la
surface polyedrale inscrite'.
In English:
Let a portion of curved surface be bounded by a contour ; we
will define the area of this surface to be the limit tended
towards by the area of an inscribed polyhedral surface formed
from triangular faces and bounded by a polygonal contour 
whose limit is the contour .
It must be shown that the limit exists and that it is independent
of the law according to which the faces of the inscribed
polyhedral surface shrink.
Independently of Schwarz, 
Giuseppe Peano
found the same counterexample. At the time,
Peano was a student of 
Angelo Genocchi
, who already knew about the difficulty on defining
surface area from communication with Schwarz. Genocchi informed 
Charles Hermite
, who had
been using Serret's erroneous definition in his course. Hermite asked Schwarz for details,
revised his course, and published the example in the second edition of his lecture notes
(1883). The original note from Schwarz was not published until the second edition of his
collected works in 1890.
[10]
Hududning chegaralari

---

A straight circular cylinder of radius and height can be parametrized in Cartesian
coordinates using the equations
for 
and 
. The Schwarz lantern is a polyhedron with 
triangular
faces inscribed in the cylinder.
The vertices of the polyhedron correspond in the parametrization to the points
and the points
with 
and 
. All the faces are 
isosceles
triangles 
congruent
to each other. The base and the height of each of these triangles have
lengths
respectively. This gives a total surface area for the Schwarz lantern
.
Simplifying sines when 
.
From this formula it follows that:
1. If 
for some constant , then 
when 
. This limit
is the surface area of the cylinder in which the Schwarz lantern is inscribed.

---

2. If 
for some constant , then 
when 
. This limit depends on the value of and can be made equal to any number not
smaller than the area of the cylinder 
.
3. If 
, then 
as 
.
Runge's phenomenon
, another example of failure of convergence
1.