Shunday qilib

2.Uzilishga ega bo’lgan funksiyalarning integrallari.
funksiya da uzluksiz va nuqtada uzilishga ega bo’lsin. Bu holda funksiyadan | a,b| segmentda ta’riflash, umumiy aytganda, mumkin emas, chunki bu limit mabvud bo’lmasligi ham mumkin. Haqiqatdan, va bo’lsin. U holda segmentni istalgancha …… bo’laklarga ajratamiz.

T a’rivlarga o’tishdan oldin avval konkter misol ko’ramiz. funksiyani qaraylik. Bu funksiya ga chapdan cheksizlikka intiladi. Biroq bo’lgan [ ] segmentda funksiya uzluksiz va shuning uchun da limitga ega bo’lgan

Integral mavjud. Bu limitni segmentda uzilishga ega bo’lgan, funksiyadan olingan xosmas integral deb ataladi va simbol bilan belgilanadi. Shunday qilib,

Bu misolni umumlashtirib, segmentning nuqtasida uzilishga ega bo’lgan, segmentda uzluksiz bo’lgan funskiyani qaraymiz.
Agar da integral chapdan chekli limitga intilsa, u holda ushbu limitni uzilishga ega bo’lgan funksiyadan olingan xosmas integral deyiladi va simvol bilan belgilaniladi.
Shunday qilib,

Bu holda xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar ko’rsatilgan limit mavjud bo’lmasa, integral mavjud emas yoki uzoqlashgan deyiladi.

Nihoyat, agar funksiya segmentni biz ikkita: va segmentga ajratamiz. Agar berilgan funksiyadan olingan xosmas integrallar segmentlarining har birida mavjud bo’lsa, u holda bu segmnetlarning yig’indisi, ta’rifiga ko’ra, funksiyadan segmentda olingan xosmas integral deyiladi, ya’ni:

Shunday qilib, ta’riflardan bevosita ko’rinib turubdiki, uzilishga ega bo’lgan funksiyadan olingan xosmas integral integrallar yig’indilarning limiti emas, balki aniq integralning limiti ekan.

µ da integralning yaqinlashishini tekshiring.


Integral ostidagi funksiya nutqada uzilishga ega. integralni qaraymiz, bu yerda 1 bo’lsa, u holda

Agar µ=1 bo’lsa, u holda
Aytaylik, bo’lsin,
Aytaylik, bo’lsin, u holda µ-1<0 demak,

µ=1 bo’lsin u hold
Nihoya, µ>1 bo’lsin, u holda µ-1>0 va shuning uchun

Demak, xosmas integral µ<1 da yaqinlashadi va µ>1 da uzoqlashadi.

integralning yaqinlashini tekshiring. Rasmda integral ostidagi funksiya tasvirlangan.
Integral ostidagi 1/ funksiya nuqtada uzilishga ega

Integrallarni qaraymiz. Ularning ikkalasi ham mavjud, bunda
Shuning uchun ta’rifga ko’ra integral mavjud

integralning yaqinlashishini tekshiring.
Integral ostidagi 1/ funksiya nuqtada uzilishga ega.
Shuning uchun 2-misoldagi kabi va integrallarni ayrim- ayrim ko’ramiz. Bu integrallarning ikkalasi ham mavjud emasligiga osongina ishonch hosill qilish mumkin. Demak, ta’rifga ko’ra
integral mavjud emas. Eslatib o’tamiz, agar biz integralni hisoblashda Nyuton-Leybnist formulasidan foydalanib, formad ish ko’rganimizda edi, oldindan noto’g’ri, chunki segmentda musbat funksiyadan olingan aniq integralnning manfiy bo’lishi mumkin emas. Xato shundaki, biz Nyuton-Leybnist formulasini o’rinsiz qo’lladik. Bizning holda 1/ funksiya nuqtada cheksiz uzilishga ega.

3.Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari. Ba’zi hollarda xosmas integralni hisoblab o’tirishga hojat yo’q, balki u yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini bilish yetarli. Bunday hollarda berilgan xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashish ma’lum bo’lgan boshqa xosmas integral bilan taqqoslash foydali bo’ladi. Xosmas integrallarni taqqoslashga asoslangan yaqinlashish ba uzoqlashish alomatlarini aniqlovchi teoremalarni hisobsiz keltiramiz.

intervalda va funksiyalar uzluksiz bo’lsin va tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda:




integralning yaqinlashishini tekshiring.
Integral ostidagi funksiyani funsiya bilan taqqoslaymiz. Ravshanki, integralda
Lekin integral yaqinlashadi, chunki
Demak, ko’ra berilgan integral yaqinlashuvchi bo’ladi.



Integralning yaqinlashishini tekshiring.
intervalda ga egamiz, chunki da yig’indi natural logafirm asosida dan kata. Demak bu integralda . Lekin integral uzoqlashadi. Demak berilgan integral ham uzoqlashadi.

va µ funksiyalar intervalda uzluksiz bo’lsin va tengsizlikni qanoatlantirsin, nuqtada esa uzilishga ega bo’lsin. U holda: