Shturum-Liuvill masalasi xos son va xos funksiyalar

2.3 Matematik fizika tenglamalariga qo`yilgan chegaraviy masalalar uchun Shturum-Liuvill masalasining qo`yilishi.

1) Bir jinsli torning erkin tebranishi.
Uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan tor tebranishi tenglamasi masalasi uchun Fur’ye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagicha ifodalanadi:
(2.3.1)
Boshlang‘ich shartlar:
(2.3.2)
Chegaraviy shartlar:
(2.3.3)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
, (2.3.4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va (2.3.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(2.3.4) funksiyani (2.3.1) tenglama qo‘yiamiz:
yoki . (2.3.5)
Oxirgi tenglikning chap tomoni x ga, o‘ng tomoni t ga bog‘liq emas.
Demak, va miqdorlarning har biri x ga ham, t ga ham bog‘liq emas, ya’ni ular o‘zgarmas. Bu o‘zgarmasni - orqali belgilab olamiz. U holda, (2.3.5) ga asosan quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (2.3.6)
, (2.3.7)
bu yerda .
Shunday qilib, (2.3.5) tenglama ikkita tenglamaga ajraldi, bulardan biri faqat x ga bog‘liq funksiyani, ikkinchisi esa faqat t ga bog‘liq funksiyani o‘z ichiga oladi. Bunday hollarda o‘zgaruvchilar ajraldi deb aytiladi.
(2.3.4) ko‘rinishdagi (2.3.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo‘lmagan yechimni topish uchun (2.3.7) tenglamaning
. (2.3.8)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan nolga teng bo‘lmagan yechimni topish kerak. Shunday qilib, biz quyidagi masalaga keldik:
parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda (2.3.7) tenglama (2.3.8) shartlarni qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimga ega bo‘lsin. Bu masala odatda Shturm-Liuvill masalasi deyiladi.
ning bunday qiymatlari (2.3.7), (2.3.8) masalaning xos qiymatlari (sonlari), bu qiymatlarga mos yechimlari esa xos funksiyalari deyiladi.
(2.3.7) tenglamaning umumiy yechimi , , bo‘lishiga qarab turli ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Shuning uchun 3 ta holni alohida-alohida tekshiramiz.
1) bo‘lgan hol. (2.3.7) ning umumiy yechimi:

ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda va - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
(2.3.8) chegaraviy shartdan kelib chiqadi. Demak, .
2) bo‘lgan hol. (2.3.7) ning umumiy yechimi:

ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda va - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
(2.3.8) chegaraviy shartdan kelib chiqadi. Demak, .
3) bo‘lgan hol. (2.3.7) ning umumiy yechimi:

ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda va - ixtiyoriy o‘zgarmaslar.
(2.3.8) chegaraviy shartdan
, kelib chiqadi. Biz deb hisoblaymiz, aks holda bo‘lib qoladi.
Demak, . bo‘ganda (2.3.7), (2.3.8) masala noldan farqli yechimga ega bo‘ladi.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (2.3.6) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday va uchun (1) masalani va (2.3.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(2.3.2)-(2.3.3) shartlarni qanoatlantiruvchi (2.3.1) masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
(2.3.9)
Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni hadma-had ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi (2.3.1) tenglamani va (2.3.3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
va doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki (2.3.9) qator yig‘indisi (2.3.2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz:
(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.10) va (2.3.11) formulalar va funksiyalarning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmalarning koeffisiyentlari quyidagi formulalar bilan topiladi:
_(2.3.12)

Endi (2.3.9) qatorni va uni ikki marta differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlarning tekis yaqinlashuvchinligini ko‘rsatsak, (2.3.9) qator bilan aniqlangan funksiya haqiqatan ham (2.3.1), (2.3.2), (2.3.3) masalaning yechimidan iborat bo‘ladi. Quyidagi teorema o‘rinli.

2.3.1-teorema. Agar funksiya segmentda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, uchinchi tartibli bo‘lak-bo‘lak uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, esa uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib, ikkiinchi tartibli bo‘lak-bo‘lak uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, hamda
, , (**)
muvofiqlashtirish shartlari bajarilsa, u holda (9) qator bilan aniqlangan funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lib, (2.3.1) tenglamani, (2.3.2) chegaraviy va (2.3.3) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan birga (2.3.9) qatorni x va t bo‘yicha ikki marta hadlab differensiallash mumkin bo‘lib, hosil bo‘lgan qatorlar ixtiyoriy t da oraliqda absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. (**) shart qanday kelib chiqqaniga to‘xtalaylik. (**) ning birinchi ikkita sharti funksiyaning x=0, t=0 va x=l, t=0 nuqtalarda uzluksizligidan (2.3.2) va (2.3.3) shartlarga asosan kelib chiqadi.
(**) ning ikkinchi ikkita sharti esa xuddi shu nuqtalarda hosilaning uzluksizligidan hosil bo‘ladi. Uchinchi juft shartni esa quyidagicha chiqarish mumkin. (2.3.1) tenglamani t=0 deb,

tenglikni hosil qilamiz. (2.3.2) shartlarni differensiallab,

tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu yerda t=0 deb, oldingi tenglikda x=0 va x=l desak, (**) ning uchinchi sharti kelib chiqadi.
(2.3.12) formulalardagi integrallani bo‘laklab integrallaymiz. (**) shartlarga asosan, quyidagilarni hosil qilamiz:

.
Ushbu


belgilashlarni kiritamiz. U holda
_(2.3.13)
.
va miqdorlar va funksiyalarning Furye koeffisiyentlaridan iboratdir. Trigonometrik qatorlar nazariyasidan ma’lumki,
,
qatorlar yaqinlashuvchi bo‘ladi. (2.3.13) ni (2.3.9) qatorga olib borib qo‘yamiz:
.
Bu qator va uni ikki marta hadlab differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlar uchun ushbu
, , ,
- o‘zgarmaslar, yaqinlashuvchi qatorlar majoranta qator rolini o‘ynaydi.
Demak, (2.3.9) qator va uni ikki marta differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlar absolyut va tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan (2.3.9) qatorning yig‘indisi funksiya o‘zining birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Shu bilan teorema isbot bo‘ldi.
2) Issiqlik tarqalish tenglamasi
Bir jinsli tenglamani bir jinsli chegaraviy shartlar bilan yechamiz.
(2.3.14)
yechimni
(2.3.15)
ko‘rinishda izlaymiz. (2.3.15) ni (2.3.14) tenglamasiga etib qo‘yamiz:


shunday qilib topish uchun biz Shturm -Liuvill masalasini hosil qildik:
,
parametrning shu qiymatlarida tenglamaning trivial bo‘lmagan yechimlari mavjud bo‘ladi:
. (2.3.16)
2-tenglamaning yechimi:
(2.3.17)
endi ni topamiz.
(2.3.16), (2.3.17) tengliklarni (2.3.15) tenglikka etib qo‘yib quyidagini hosil qilamiz:
(2.3.18)
xususiy yechimni hosil qilamiz.
(2.3.19)
funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Boshlang‘ich shartni ham qanoatlantirishini talab etamiz:
(2.3.20)
ya’ni - funksiya Furye koeffisiyentlari
(2.3.21)
Endi koeffisiyentlari (2.3.21) formula bilan aniqlanadigan (2.3.19) qatorni qaraymiz va bu qator (I) masalaning barcha shartlarini qanoatlantirishini qo‘rsatamiz.
Buning uchun (2.3.19) qator bilan aniqlanuvchi funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, tenglamani sohada qanoatlantirishini va bu sohaning chegaralarida ( ) uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatishimiz kerak.
Berilgan tenglama chiziqli bo‘lgani uchun superpozitsiya prinsipiga asosan xususiy yechimlardan iborat qator ham yechim bo‘ladi, agar u yaqinlashuvchi bo‘lsa, uni bo‘yicha ikki marta, bo‘yicha bir marta differensiallash mumkin. ( - ixtiyoriy yordamchi berilgan son) da xususiy hosilalarning va qatorlari ham tekis yaqinlashadi.
Haqiqatan,

faraz qilamiz, funksiya chegaralangan bo‘lsin, ya’ni .
U holda
chunki .
U vaqtda uchun.
Shunga o‘xshash: uchun.
Umuman: uchun.
- majoranta qatorning yaqinlashishini tekshiramiz, . Dalamber alomatiga asosan:
.
Bundan (2.3.19) qatorni sohada hadma-had differensiallash mumkin degan xulosa chiqadi. Superpozisiya prinsipidan foydalanib, bu qator berilgan tenglamani qanoatlantirishini isbotlash mumkin. Shu bilan da (2.3.19) qator yetarlihca marta differensiallanuvchi va berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Endi quyidagi masalani qaraylik:

aralash masalani yechish talab qilinsin. Dastlab, quyidagi bir jinsli tenglamani bir jinsli chegaraviy shartlar bilan yechamiz.

yechimni ko‘rinishda izlaymiz.

shunday qilib topish uchun biz Shturm -Liuvill masalasini hosil qildik:
,
parametrning shu qiymatlarida Shturm-Liuvill tenglamasining trivial bo‘lmagan yechimlari mavjud bo‘ladi: .
2-tenglamaning yechimi:

endi ni topamiz.
U vaqtda

xususiy yechim.
U holda

funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Boshlang‘ich shartni ham qanoatlantirishini talab etamiz:
ya’ni - funksiya Fur’ye koeffisiyentlari .
Endi bir jinsli bo‘lmagan issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini nol boshlang‘ich va nol chegaraviy shartlar bilan qarab chiqaylik:

Bu masalaning yechimini xos qiymatlarga mos xos funksiyalarning, ya’ni funksiyalarning Furye qatori ko‘rinishida qidiramiz:
.
Agar funksiya topilsa, berilgan masala yechilgan bo‘ladi. funksiyani quyidagi qator ko‘rinishida qidiramiz:
, bu yerda .
Natijada :
.
Yoyilmadagi barcha koeffisiyentlar nolga teng bo‘lsa, bu tenglik o‘rinli bo‘ladi:

funksiya uchun boshlang‘ich shartdan foydalanib, funksiya uchun boshlang‘ich shartni olamiz: .
Demak, oddiy differensial tenglamaga qo‘yilgan Koshi masalasini hal qilamiz: .
Natijada izlanayotgan yechimni olamiz.
Endi ba’zi bir masalalarni qarab chiqamiz:
2.3.1-masala: Quyidagi masalani Fur’ye usulida yeching: