Sh. A. Alimov, R. R. Ashurov

A ∩ B = {3}

, ya'ni kesishma bitta elementdan iborat. Simvolik ravishda kesishma

ta'rifini quyidagicha yozish mumkin:

(a ∈ A ∩ B)

⇔

(a ∈ A) ∧ (a ∈ B).

Umuman elementi bo'lmagan to'plamga bo'sh to'plam deyiladi va ∅ ko'rinishda

belgilanadi.

Yuqorida keltirilgan ta'riflardan foydalanib, ixtiyoriy A to'plam uchun quyidagi

tengliklar o'rinli ekanligini ko'rsatish qiyin emas:

A ∪ A = A, A ∩ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.

Agar ikki A va B to'plamlar uchun

A ∩ B = ∅

---

4

SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV

tenglik o'rinli bo'lsa, ular kesishmaydigan to'plamlar deyiladi. Masalan, agar A =

{1, 2, 3}

va B = {4, 5, 6} bo'lsa, A ∩ B = ∅ bo'ladi.

Ikki A va B to'plamlarning ayirmasi A \ B deb, A to'plamning B ga kirmagan

barcha elementlari to'plamiga aytiladi:

(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x /

∈ B).

Boshqacha aytganda, A\B to'plam A dan B ga tegishli (agar shundaylari mavjud

bo'lsa) barcha elementlarni chiqarib tashlash bilan hosil qilinadi. Masalan, agar

A = {1, 2, 3}

va B = {3, 4, 5} bo'lsa, A \ B = {1, 2} bo'ladi. Albatta, agar A va B

to'plamlar kesishmasa, A \ B = A bo'ladi.

3. To'plamlar nazariyasidagi eng muhim tushunchalardan biri akslantirishdir.

Bu tushuncha ham odatda boshlang'ich tushunchalar qatoriga kiritilib, ta'rifsiz

qabul qilinadi. Agar ikki A va B to'plamlar berilib, A to'plamning har bir a

elementiga B to'plamning biror f(a) elementi ma'lum bir qonuniyat asosida mos

qo'yilsa,

f : A → B

akslantirish berilgan deyiladi.

Agar f : A → B akslantirish uchun quyidagi ikki shart:

(i) har qanday a

1

∈ A

, a

2

∈ A

va a

1

6= a

2

uchun f(a

1

) 6= f (a

2

)

bo'lsin;

(ii) har qanday b ∈ B uchun shunday a ∈ A topilsinki, u uchun f(a) = b tenglik

o'rinli bo'lsin;

bajarilsa, bu akslantirish o'zaro bir qiymatli deyiladi.

Birinchi shart f akslantirishning turli elementlarga turli elementlarni mos qo'yishini

anglatadi. Demak, f(a) elementga a elementni mos qo'yuvchi teskari f

−1

akslantirishni

aniqlash mumkin.

Ikkinchi shart f ning A to'plamni B to'plamning ustiga akslantirishini bildiradi.

Shunday ekan, teskari f

−1

: B → A

akslantirish B to'plamning barcha elementlarida

aniqlangan bo'lib, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1) har qanday a ∈ A uchun f

−1

(f (a)) = a

tenglik o'rinli;

2) har qanday b ∈ B uchun f(f

−1

(b)) = b

tenglik o'rinli.

Shubhasiz, har qanday o'zaro bir qiymatli akslantirishga teskari akslantirish ham

o'zaro bir qiymatli bo'ladi. Agar ikki A va B to'plamlar uchun birini ikkinchisiga

o'zaro bir qiymatli akslantirish mavjud bo'lsa, bu to'plamlar ekvivalent deyiladi.

Bunday holda ikki A va B to'plamlar bir xil quvvatga ega ham deyiladi.

Chekli sondagi elementlarga ega bo'lgan to'plam chekli to'plam deyiladi. Bunday

to'plamalar bir xil quvvatga ega bo'lishi uchun ular bir xil sondagi elementlarga ega

bo'lishi zarur. Shu ma'noda to'plam quvvati tushunchasini natural sonlar tushunchasining

umumlashmasi deyish mumkin.