Sh. A. Alimov, R. R. Ashurov

∃xP (x)

ifoda orqali ¾P xossaga ega bo'lgan kamida bitta x ob'ekt mavjud¿ degan tasdiqni

belgilaymiz. Bu yerda ∃ belgisi mavjudlik kvantori deyiladi.

Ÿ Q.2. To'plamlar nazariyasi belgilashlari

1. To'plam matematikaning boshlang'ich, ta'rifsiz qabul qilinadigan, tushunchalaridan

biridir. Biz uchun muhimi to'plamning o'z elementlari bilan aniqlanishidir, ya'ni

har qanday ob'yekt uchun u berilgan to'plamning elementi yoki elementi emasligi

haqida aniq aytish mumkinligidir. Odatda to'plamlarni belgilash uchun katta (bosh)

harflar, to'plam elementlari uchun esa kichik ( yozma) harflar ishlatiladi. Masalan,

A = {a, b, c}

to'plam 3 ta elementdan iborat.

Agar a ob'yekt A to'plamning elementi bo'lsa, bu tasdiq quyidagicha yoziladi:

a ∈ A.

Masalan, A = {1, 2, 3} bo'lsa, 2 ∈ A bo'ladi.

Aksincha, agar a berilgan A to'plamning elementi bo'lmasa,

a /

∈ A

deb belgilanadi. Masalan, agar A yuqoridagi to'plam bo'lsa, 4 /∈ A bo'ladi.

---

MATEMATIK TAHLIL

3

Shuni aytish kerakki, to'plamda ikkita bir xil element bo'lmaydi, ya'ni to'plam

elementlarining qaytarilib kelishi mumkin emas. Masalan, quyidagi oltita element

birlashmasi:

{1, 2, 2, 3, 3, 3}

to'plam bo'lmaydi. Bu birlashmaga kiruvchi elementlar quyidagi to'plamni tashkil

etadi:

{1, 2, 3}.

Agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning ham elementi bo'lsa, A

to'plam B to'plamning qismiy to'plami deb ataladi va A ⊂ B kabi belgilanadi.

Masalan, agar A = {1, 2, 3} va B = {1, 2, 3, 4} bo'lsa, A ⊂ B bo'ladi. Qismiy

to'plam ta'rifini simvolik ravishda quyidagicha yozish mumkin:

(A ⊂ B)

⇔

[(a ∈ A) ⇒ (a ∈ B)].

Agar bir vaqtning o'zida A ⊂ B va B ⊂ A bo'lsa, A va B to'plamlar teng

deyiladi va A = B deb yoziladi. Boshqacha aytganda, agar ikki to'plam bir xil

elementlardan iborat bo'lsa, ular teng deyiladi.

Bunday ta'rif, o'zining tabiiy ko'rinishiga qaramasdan, bizni ba'zi matematik

ob'yektlar to'g'risida shakllangan tasavvurimizni qayta ko'rib chiqishga majbur

qiladi. Masalan, agar har bir geometrik figuraga biror nuqtalar to'plami deb qarasak,

ikki geometrik figura faqat ustma-ust tushgandagina teng bo'lar edi. Xususan,

bunday qarashda har bir uchburchak faqat o'zigagina teng bo'ladi.

Yuqoridagi ta'rifdan har qanday to'plam o'zining qismiy to'plami ekanligi kelib

chiqadi. Agar A ⊂ B va A 6= B bo'lsa, A to'plam B ning xos qismiy to'plami

deyiladi.

2. Biz quyida to'plamlar ustida bajariladigan eng sodda amallarni keltiramiz.

Ikki A va B to'plamlar birlashmasi deb A yoki B to'plamga tegishli bo'lgan,

ya'ni xech bo'lmasa shu to'plamlardan bittasiga tegishli bo'lgan barcha elementlar

to'plamiga aytiladi. A va B to'plamlar birlashmasi A∪B simvoli orqali belgilanadi.

Masalan, agar A = {1, 2, 3} va B = {3, 4, 5} bo'lsa, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} bo'ladi.

Birlashmaning ta'rifini simvolik ravishda quyidagicha yozish mumkin:

(a ∈ A ∪ B)

⇔

(a ∈ A) ∨ (a ∈ B).

Ikki A va B to'plamlar kesishmasi deb bir vaqtning o'zida ham A, ham B

to'plamlarga tegishli barcha elementlar to'plamiga aytiladi. A va B to'plamlar

kesishmasi A ∩ B simvoli orqali belgilanadi. Masalan, yuqoridagi to'plamlar uchun