|
17.
a
sondan kvadrat ildiz
— kvadrati
a
ga teng bo‘lgan son.
Masalan, 6 – bu 36 sonidan kvadrat ildiz; –6 soni ham 36 sonidan
kvadrat ildiz.
Kvadrat ildiz chiqarish
— kvadrat ildizni topish amali. Faqat
nomanfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish mumkin.
a
sondan olingan (chiqarilgan)
arifmetik kvadrat ildiz
– kvadrati
a
ga teng bo‘lgan nomanfiy son. Bu son bunday belgilanadi:
a
.
Masalan, 16
4, 144
12.
=
=
a
ifoda faqat
a
³
0 bo‘lganda ma’noga ega, bunda
a
a
a
2
0, (
)
.
³
=
Kvadrat ildizlarning xossalari:
1) agar
a
³
0,
b
³
0 bo‘lsa, u holda
ab
a
b
=
×
bo‘ladi. Masalan,
144 196
144
196
12 14 168
×
=
×
=
×
=
.
2) Agar
a
³
0,
b
> 0 bo‘lsa, u holda
a
a
b
b
=
bo‘ladi. Masalan,
169
169
13
225
15
225
=
=
.
3) Agar
a
³
0,
n
– natural son bo‘lsa,
n
n
a
a
=
2
bo‘ladi. Masalan,
6
3
3
3
27
=
=
.
Bu xossalardan kvadrat ildizlar qatnashgan ifodalarni almashti-
rishda foydalaniladi. Bu almashtirishlardan asosiylari:
ko‘paytuvchini ildiz belgisi ostidan chiqarish:
agar
a
³
0,
b
³
0 bo‘lsa, u holda
2
a b
a b
=
bo‘ladi;
ko‘paytuvchini ildiz belgisi ostida kiritish:
agar
a
³
0,
b
³
0 bo‘lsa, u holda
a b
a b
2
=
bo‘ladi.
219
TENGLAMALAR
18. Bir noma’lumli tenglama
— harf bilan belgilangan noma’lumni
o‘z ichiga olgan tenglik.
Tenglamaga misol: 2
x
+ 3 = 3
x
+ 2, bunda
x
– topilishi kerak bo‘l-
gan noma’lum son.
Tenglamaning ildizi
— noma’lumning tenglamani to‘g‘ri tenglikka
aylantiruvchi qiymati.
Masalan, 3 soni
x
+ 1 = 7 –
x
tenglamaning ildizi, chunki 3 + 1 = 7 – 3.
Tenglamani yechish
– uning barcha ildizlarini topish yoki ularning
yo‘qligini isbotlash demakdir.
Tenglamalarning asosiy xossalari:
1) tenglamaning istagan hadini uning bir qismidan ikkinchi qismiga
qarama-qarshi ishora bilan olib o‘tish mumkin.
2) tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo‘lmagan ayni bir songa
ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin.
19. Kvadrat tenglama
, bu
ax
2
+
bx
+
c
= 0 ko‘rinishdagi tenglama,
bunda
a
,
b
va
c
– berilgan sonlar, shu bilan birga
a
¹
0,
x
– noma’lum
son.
Kvadrat tenglamaning koeffitsiyentlari quyidagicha ataladi:
a
–
birinchi yoki bosh koeffitsiyent,
b
– ikkinchi koeffitsiyent,
c
– ozod
had.
Kvadrat tenglamaga misollar: 2
x
2
–
x
– 1 = 0, 3
x
2
+ 7
x
= 0.
Chala kvadrat tenglama
ham
ax
2
+
bx
+
c
= 0 ko‘rinishdagi kvadrat
tenglama, ammo unda
b
yoki
c
koeffitsiyentlardan aqalli bittasi nolga
teng bo‘ladi.
Chala kvadrat tenglamalarga misollar:
x
2
= 0, 5
x
2
+ 4 = 0, 8
x
2
+
x
= 0.
Kvadrat tenglama ildizlarining formulasi:
b
b
ac
a
x
2
1,2
4
2
- ±
-
=
.
Masalan, 3
x
2
+ 5
x
– 2 = 0 tenglama ikkita ildizga ega:
x
1,2
5
25
24
5
7
6
6
- ±
+
- ±
=
=
, ya’ni
1
2
1
3
,
2.
x
x
=
= -
Keltirilgan kvadrat tenglama
x
2
+
px
+
q
= 0 ko‘rinishdagi tenglama.
Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining formulasi:
p
p
x
q
2
1,2
2
4
.
= - ±
-
220
Masalan,
x
2
– 6
x
– 7 = 0 tenglamaning ildizlari:
x
1,2
3
9 7
3 4,
= ±
+ = ±
ya’ni
x
1
= 7,
x
2
= –1.
Viyet teoremasi.
Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yig‘in-
disi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga,
ularning ko‘paytmasi esa ozod hadga teng.
Shunday qilib, agar
x
1
va
x
2
lar sonlar
x
2
+
px
+
q
= 0 kvadrat
tenglamaning ildizlari bo‘lsa, u holda
x
1
+
x
2
= –
p
,
x
1
∙
x
2
=
q
bo‘ladi.
Viyet teoremasiga teskari teorema.
Agar
p
,
q
,
x
1
,
x
2
sonlar uchun
x
1
+
x
2
= –
p
,
x
1
x
2
=
q
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda
x
1
va
x
2
sonlar
x
2
+
px
+
q
= 0 tenglamaning ildizlari bo‘ladi.
20.
Ikki noma’lumli ikkita tenglama sistemasi
– birgalikda qarala-
digan
x
va
y
noma’lumli ikkita tenglama.
Ikki noma’lumli ikkita tenglama sistemasiga misol:
x
y
x y
x y
x
y
2
2
2
7,
3
5,
2
7;
4
35.
-
=
ì
- =
ì
ï
í
í
+ =
-
= -
ï
î
î
Sistemaning yechimi
– shu sistemaga qo‘yganda uning har bir tengla-
masini to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan
x
va
y
sonlar jufti.
Masalan, ushbu
x y
x y
4
2,
5
7
- =
ì
í
+ =
î
sistemaning yechimi
x
= 1,
y
= 2 sonlar
jufti bo‘ladi.
Sistemani yechish
– uning barcha yechimlarini topish yoki ularning
yo‘qligini isbotlash demakdir.
Òenglamalar sistemasini yechishda quyidagi
usullar
qo‘llaniladi:
1)
O‘rniga qo‘yish usuli.
Òenglamalarning birortasidan bir noma’lum ikkinchisi orqali ifoda
qilinadi va sistemaning boshqa tenglamasiga qo‘yiladi.
2)
Algebraik qo‘shish usuli.
Ushbu
1
1
1
2
2
2
,
a x b y c
a x b y c
ì
í
î
+
=
+
=
ko‘rinishdagi
sistemani yechish uchun noma’lumlardan birining koeffitsiyentlarini
modullari bo‘yicha tenglashtirib, sistema tenglamalarini hadlab qo‘shish
yoki ayirish orqali shu noma’lum yo‘qotiladi.
3)
Grafik usul.
Sistema tenglamalarining grafiklari yasaladi va
ularning kesishish nuqtalarining koordinatalari topiladi.
221
ÒENGSIZLIKLAR
21. Sonli tengsizliklar.
a > b
tengsizlik
a – b
ayirma musbat ekanligini bildiradi.
a < b
tengsizlik
a – b
ayirma manfiy ekanligini bildiradi.
Agar
a > b
bo‘lsa, u holda
b < a
bo‘ladi.
Òengsizlik
> yoki < belgilari bilan birlashtirilgan ikkita sonli yoki
algebraik ifoda.
Òengsizliklarga misollar: 4 > 7 – 5; 2
a + b
<
a
2
+
b
2
.
Istalgan ikkita
a
va
b
son uchun quyidagi uchta munosabatdan
faqat biri to‘g‘ri bo‘ladi:
a > b, a = b, a < b.
Sonli tengsizliklarning asosiy xossalari:
1) Agar
a > b
va
b > c
bo‘lsa, u holda
a > c
bo‘ladi.
2) Agar tengsizlikning ikkala qismiga ayni bir xil son qo‘shilsa,
yoki ayirilsa, u holda tengsizlik belgisi o‘zgarmaydi: agar
a > b
bo‘lsa,
u holda istalgan
c
uchun
a + c > b + c
va
a – c > b – c
bo‘ladi.
Istalgan sonni tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga, uning
ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirib olib o‘tish mumkin.
3) Òengsizlikning ikkala qismini nolga teng bo‘lmagan songa ko‘pay-
tirish yoki bo‘lish mumkin, bunda, agar bu son musbat bo‘lsa, tengsizlik
ishorasi o‘zgarmaydi, agar bu son manfiy bo‘lsa, u holda tengsizlik
ishorasi qarama-qarshisiga o‘zgaradi, ya’ni agar
a
>
b
bo‘lsa, u holda
c
> 0 bo‘lganda
ac
>
bc
va
,
a
b
c
c
>
c
< 0 bo‘lganda
ac
<
bc
va
a
b
c
c
<
.
Òengsizliklarni qo‘shish
. Bir xil ishorali tengsizliklarni qo‘shish
mumkin, bunda xuddi shu ishorali tengsizlik hosil bo‘ladi: agar
a
>
b
va
c
>
d
bo‘lsa, u holda
a + c
>
b + d
bo‘ladi.
Masalan:
4
3,5
2,3
3,5
– 2
– 5
– 4
– 3
2
– 1,5
–1,7
0,5
>
<
+
+
>
<
>
<
Òengsizliklarni ko‘paytirish.
Chap va o‘ng qismlari musbat bo‘lgan
bir xil ishorali tengsizliklarni hadlab ko‘paytirish mumkin, bunda xuddi
shu ishorali tengsizlik hosil bo‘ladi: agar
a > b, c > d
va
a, b, c, d
musbat
sonlar bo‘lsa, u holda
ac > bd
bo‘ladi.
222
Masalan,
2,4
2,1
1,7
2,3
4
3
2
3
9,6
6,3
3,4
6,9
>
<
´
´
>
<
>
<
Agar
a
>
b
va
a, b
musbat sonlar bo‘lsa, u holda
a
2
>
b
2
,
a
3
>
b
3
va,
umuman, istalgan natural
n
uchun
a
n
>
b
n
tengsizlik bajariladi. Masalan,
6
2
> 5
2
, 6
3
>
5
3
, 6
12
> 5
12
.
Qat’iy tengsizliklar
>
(katta) va
<
(kichik) ishorali tengsizliklar.
Masalan, 5 > 3,
x
< 1.
Noqat’iy tengsizliklar
³
(katta yoki teng) va
£
(kichik yoki teng)
ishorali tengsizliklar. Masalan,
a
2
+
b
2
³
2
ab
,
x
£
3.
a
³
b
noqat’iy tengsizlik
a > b
yoki
a = b
ekanligini bildiradi.
Noqat’iy tengsizliklarni xossalari
xuddi qat’iy tengsizliklarning
xossalari kabidir. Bunda qat’iy tengsizliklarning xossalarida > va <
ishoralari, noqat’iy tengsizliklarning xossalarida esa
³
va
£
ishoralari
qarama-qarshi ishoralar
deyiladi.
Ikkita
a
va
b
sonning
o‘rta arifmetigi
:
a b
.
2
+
Ikkita
a
va
b
sonning o‘rta geometrigi:
ab
.
Agar
a
³
0,
b
³
0 bo‘lsa, u holda
a b
ab
2
+
³
bo‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
