Сборник задач по общему курсу физики, 1979 М/у Механика №1885, электростатика №1990. Физические основы механики

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Разобьем твердое тело, вращающееся вокруг оси O_z, на n малых элементов; и - масса и скорость i-го элемента, - кинетическая энергия i-го элемента;
- кинетическая энергия всего тела.
Как известно, , где - радиус окружности, по которой движется i-я точка. Тогда:

т.е. (56)
Работа при вращательном движении.
Если момент внешних сил M_z относительно оси вращения отличен от нуля, то угловая скорость  и кинетическая энергия тела будут меняться. Изменение кинетической энергии dT тела за время dt равно работе dA, совершаемой внешними силами:
(57)
(тело не деформируется, поэтому внутренние силы работы не совершают).
Из (56) следует, что , тогда:
(58)
Подставим (58) в (57):
(59)
где и - угол поворота тела за время dt.
Полная работа, совершаемая при повороте тела на угол , равна:
(60)


Закон сохранения момента импульса.
В случае замкнутой системы момент внешних сил равен нулю, поэтому из уравнения вращательного движения тела относительно точки: следует, что
, ,

Этот результат носит название закона сохранения момента импульса:
в замкнутой системе момент импульса твердого тела относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени как по величине, так и по направлению.
Из уравнения вращательного движения тела вокруг неподвижной оси:

следует закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси.
В самом деле, если , то и или .
Закон сохранения момента импульса можно обобщить и на случай любой незамкнутой системы:
если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к телу, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не меняется с течением времени.