Самостоятельная работа Принятый : Аллаберганова Г.


Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты



Download 95,82 Kb.
bet2/2
Sana23.02.2022
Hajmi95,82 Kb.
#130764
TuriСамостоятельная работа
1   2
Bog'liq
1-Самост

2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебаний x1 и х2, которые
определяются функциями

x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) ,

x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) .

(6)

Применим метод векторных диаграмм, построив по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис.3). Проекция его на ось равна сумме проекций складываемых векторов:
x = x1 + x2 .
Частота вращения результирующего вектора равна ω, амплитуда А и начальная фаза φ. Из рисунка видно, что

A2 = A2

A2

− 2A A cos[π (ϕ

2

− ϕ

1

)]= A2

A2

+ 2A A cos(ϕ

2

− ϕ

),

(7)

1

2

1

2



1


2

1

2

1






tgϕ =

A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2

.





(8)













cosϕ

1

cosϕ

2











1




2









Как мы видим, результат сложения двух колебаний существенно зависит от разности фаз этих колебаний ϕ1 - ϕ2. Рассмотрим два важных случая:


а) ϕ1 − ϕ 2 = 0 - колебания синфазные.
В этом случае амплитуды колебаний складываются, т.е. колебания усиливают друг друга
(рис. 4):
A = A1 + A2 .
б) ϕ1 − ϕ 2 = π - колебания противофазные.
В этом случае амплитуды колебаний вычитаются, т.е. гасят друг друга (рис. 5):


































A =


A1 − A2


.









Если частоты колебаний x1 и x2 неодинаковы, векторы

A1 и

A2 будут вращаться с

различной скоростью. В этом случае результирующий вектор

A вращается с непостоянной

скоростью, а его модуль изменяется в пределах от


A1 − A2



до

A1 + A2 . Следовательно,



результирующее колебание не будет гармоническим.



1.3. Биения.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Эти колебания называются биениями. Они широко применяются на практике для сравнения измеряемой частоты с эталонной (при настройке музыкальных инструментов, для анализа слуха и т.д.).

6
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны, а частоты равны ω и ω+∆ω, причем ∆ω<<ω. Начальные фазы обоих колебаний примем равными нулю:

x1 = Acos(ωt)

(9)

x2 = Аcos(ω + ∆ω)t

(10)

Если сложить эти колебания, то получим:

x = x + x


= (2Acos

ω

t) cosωt .

(11)

2


1

2







Первый множитель в формуле (11) изменяется гораздо медленнее, чем второй. Ввиду условия ∆ω<<ω за время, пока cosωсовершает несколько полных колебаний, первый множитель почти не изменяется. Это дает основание рассматривать колебание (11) как гармоническое с частотой ω (рис.6а), амплитуда которого изменяется по следующему периодическому закону:







ω






A

=

2Acos

t

.

(12)








б


2












Выражение для амплитуды представляет собой периодическую функцию с частотой, в два раза превышающей частоту гармонической функции, стоящей под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω (рис. 6б). Следовательно, частота пульсации амплитуды – ее называют частотой биений – равна разности частот складываемых колебаний ∆ω.
Периодом биения называется промежуток времени между двумя последовательными моментами времени, при которых амплитуда результирующего колебания обращается в ноль:

T =



.

(13)


7
1.4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Существуют системы, которые могут совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Например, такие колебания может осуществлять составной маятник, изображенный на риc. 7. Верхний маятник , имеющий точку подвеса К, способен совершать колебания в вертикальной плоскости вдоль направления ОХ. Нижний же маятник MN имеет ось вращения OO′ , параллельную оси ОХ и может колебаться в вертикальной плоскости вдоль направления OY.
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний можно также наблюдать на экране осциллографа, если на его отклоняющие пластины подать одно гармонически изменяющееся напряжение Ux, а на пластины - второе гармонически изменяющееся напряжение Uy.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. Это обстоятельство используется в измерительной технике для исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний. Например, если частоты складываемых колебаний ω x и ω y относятся как два целых числа и m:




ωx

=

n

,

(14)




m




ωy




то для определения соотношения ωx/ωy используется один из следующих методов:
1. Проводят через данную фигуру две произвольные взаимно перпендикулярные прямые ЕС и DP, параллельные осям ОХ и OY (рис.8). Подсчитывают число точек пересечения фигуры и прямой DP. Это число равно величине n. Аналогично число пересечений фигуры и
прямой ЕС равно величине m. В случае, когда прямая проходит через точку пересечения ветвей фигуры, при подсчете ее считают дважды. Соотношений частот складываемых колебаний равно отношению n/m.

Рис. 8. Определение соотношения частот взаимно перпендикулярных колебаний методом пересекающихся прямых.
2. Вписывают исследуемую фигуру Лиссажу в прямоугольник и подсчитывают количество точек соприкосновения фигуры и прямоугольника по горизонтали - m и вертикали - n(рис. 9). Соотношений частот складываемых колебаний равно отношению
Пусть материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях:
где ϕ - разность фаз этих колебаний. Выведем уравнение результирующего движения точки для нескольких простых случаев.
1. Вначале рассмотрим простейший случай, когда ω1 = ω2= ω:

x = a cosωt

,

(16)



y = b cos (ωt + ϕ)


Найти результат сложения, означает найти вид функции y(x), т.е. найти траекторию движения материальной точки в плоскости (x,y). Запишем систему уравнений (16) в виде
С учетом первого уравнения, второе уравнение системы (16а) преобразуем следующим образом :

y

= x cosϕ − sinϕ

1− x2

,

b

a

a2


y − x cosϕ = − sinϕ

1− x

2 .

b

a

a

2

Возведем обе стороны этого уравнения в квадрат:

y2

+

x2

cos

2

ϕ −

2xy

cosϕ = sin

2

ϕ −

x2

sin

2

ϕ

b2

a2


ab


a2












и, окончательно упростив, получим вид вид функции y(x):








x2

+

y 2




2xy

cosϕ = sin

2

ϕ

(17)








a2

b2


ab

















Вид траектории y(x) существенно зависит от разности фаз ϕ (рис. 10):




x


y

2




b







a) φ= 0,







= 0 ,


y =



x - отрезок прямой линии,



a


b





a







б) φ= ±π,
в) φ = ± π/2,

2) Рассмотрим случай, когда ω1 /ω2 = 1/ 2

и ϕ = 0 :


x = a cosωt

(18)



cos 2ωt.


Выразим во втором уравнении системы (18) cos 2ωt через cosωt , а этот косинус – из первого уравнения:
cos 2ωt = 2cos2 ωt −1; cosωt .


Литература
1. Т.И.Трофимова. Курс физики.– М.: Высшая школа, 1985. с.209-212.
2. И.В.Савельев. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. с.238-296, 256-269.
Download 95,82 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish