2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание x будет суммой колебаний x1 и х2, которые
определяются функциями
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) ,
|
x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) .
|
(6)
|
Применим метод векторных диаграмм, построив по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис.3). Проекция его на ось X равна сумме проекций складываемых векторов:
x = x1 + x2 .
Частота вращения результирующего вектора равна ω, амплитуда А и начальная фаза φ. Из рисунка видно, что
A2 = A2
|
+ A2
|
− 2A A cos[π - (ϕ
|
2
|
− ϕ
|
1
|
)]= A2
|
+ A2
|
+ 2A A cos(ϕ
|
2
|
− ϕ
|
),
|
(7)
|
1
|
2
|
1
|
2
|
|
|
1
|
|
2
|
1
|
2
|
1
|
|
|
|
|
|
tgϕ =
|
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2
|
.
|
|
|
|
|
(8)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A cosϕ
|
1
|
+ A cosϕ
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
Как мы видим, результат сложения двух колебаний существенно зависит от разности фаз этих колебаний ϕ1 - ϕ2. Рассмотрим два важных случая:
а) ϕ1 − ϕ 2 = 0 - колебания синфазные.
В этом случае амплитуды колебаний складываются, т.е. колебания усиливают друг друга
(рис. 4):
A = A1 + A2 .
б) ϕ1 − ϕ 2 = π - колебания противофазные.
В этом случае амплитуды колебаний вычитаются, т.е. гасят друг друга (рис. 5):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A =
|
|
A1 − A2
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если частоты колебаний x1 и x2 неодинаковы, векторы
|
A1 и
|
A2 будут вращаться с
|
различной скоростью. В этом случае результирующий вектор
|
A вращается с непостоянной
|
скоростью, а его модуль изменяется в пределах от
|
|
A1 − A2
|
|
|
до
|
A1 + A2 . Следовательно,
|
|
|
результирующее колебание не будет гармоническим.
|
|
|
1.3. Биения.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Эти колебания называются биениями. Они широко применяются на практике для сравнения измеряемой частоты с эталонной (при настройке музыкальных инструментов, для анализа слуха и т.д.).
6
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны, а частоты равны ω и ω+∆ω, причем ∆ω<<ω. Начальные фазы обоих колебаний примем равными нулю:
x1 = Acos(ωt)
|
(9)
|
x2 = Аcos(ω + ∆ω)t
|
(10)
|
Если сложить эти колебания, то получим:
x = x + x
|
|
= (2Acos
|
∆ω
|
t) cosωt .
|
(11)
|
2
|
|
1
|
2
|
|
|
|
|
|
|
Первый множитель в формуле (11) изменяется гораздо медленнее, чем второй. Ввиду условия ∆ω<<ω за время, пока cosωt совершает несколько полных колебаний, первый множитель почти не изменяется. Это дает основание рассматривать колебание (11) как гармоническое с частотой ω (рис.6а), амплитуда которого изменяется по следующему периодическому закону:
|
|
|
|
∆ω
|
|
|
|
A
|
=
|
2Acos
|
t
|
.
|
(12)
|
|
|
|
б
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение для амплитуды представляет собой периодическую функцию с частотой, в два раза превышающей частоту гармонической функции, стоящей под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω (рис. 6б). Следовательно, частота пульсации амплитуды – ее называют частотой биений – равна разности частот складываемых колебаний ∆ω.
Периодом биения называется промежуток времени между двумя последовательными моментами времени, при которых амплитуда результирующего колебания обращается в ноль:
7
1.4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Существуют системы, которые могут совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Например, такие колебания может осуществлять составной маятник, изображенный на риc. 7. Верхний маятник KМ, имеющий точку подвеса К, способен совершать колебания в вертикальной плоскости вдоль направления ОХ. Нижний же маятник MN имеет ось вращения OO′ , параллельную оси ОХ и может колебаться в вертикальной плоскости вдоль направления OY.
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний можно также наблюдать на экране осциллографа, если на его отклоняющие пластины X подать одно гармонически изменяющееся напряжение Ux, а на пластины Y - второе гармонически изменяющееся напряжение Uy.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. Это обстоятельство используется в измерительной технике для исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний. Например, если частоты складываемых колебаний ω x и ω y относятся как два целых числа n и m:
то для определения соотношения ωx/ωy используется один из следующих методов:
1. Проводят через данную фигуру две произвольные взаимно перпендикулярные прямые ЕС и DP, параллельные осям ОХ и OY (рис.8). Подсчитывают число точек пересечения фигуры и прямой DP. Это число равно величине n. Аналогично число пересечений фигуры и
прямой ЕС равно величине m. В случае, когда прямая проходит через точку пересечения ветвей фигуры, при подсчете ее считают дважды. Соотношений частот складываемых колебаний равно отношению n/m.
Рис. 8. Определение соотношения частот взаимно перпендикулярных колебаний методом пересекающихся прямых.
2. Вписывают исследуемую фигуру Лиссажу в прямоугольник и подсчитывают количество точек соприкосновения фигуры и прямоугольника по горизонтали - m и вертикали - n(рис. 9). Соотношений частот складываемых колебаний равно отношению
Пусть материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях:
где ϕ - разность фаз этих колебаний. Выведем уравнение результирующего движения точки для нескольких простых случаев.
1. Вначале рассмотрим простейший случай, когда ω1 = ω2= ω:
x = a cosωt
|
,
|
(16)
|
|
|
y = b cos (ωt + ϕ)
|
|
Найти результат сложения, означает найти вид функции y(x), т.е. найти траекторию движения материальной точки в плоскости (x,y). Запишем систему уравнений (16) в виде
С учетом первого уравнения, второе уравнение системы (16а) преобразуем следующим образом :
y
|
= x cosϕ − sinϕ
|
1− x2
|
,
|
b
|
a
|
a2
|
|
y − x cosϕ = − sinϕ
|
1− x
|
2 .
|
b
|
a
|
a
|
2
|
Возведем обе стороны этого уравнения в квадрат:
y2
|
+
|
x2
|
cos
|
2
|
ϕ −
|
2xy
|
cosϕ = sin
|
2
|
ϕ −
|
x2
|
sin
|
2
|
ϕ
|
b2
|
a2
|
|
ab
|
|
a2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, окончательно упростив, получим вид вид функции y(x):
|
|
|
|
|
|
|
x2
|
+
|
y 2
|
−
|
|
2xy
|
cosϕ = sin
|
2
|
ϕ
|
(17)
|
|
|
|
|
|
|
|
a2
|
b2
|
|
ab
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид траектории y(x) существенно зависит от разности фаз ϕ (рис. 10):
|
|
|
|
x
|
|
y
|
2
|
|
|
|
b
|
|
|
|
|
|
|
a) φ= 0,
|
|
|
−
|
|
|
= 0 ,
|
|
y =
|
|
|
x - отрезок прямой линии,
|
|
|
a
|
|
b
|
|
|
|
|
a
|
|
|
|
|
|
|
б) φ= ±π,
в) φ = ± π/2,
2) Рассмотрим случай, когда ω1 /ω2 = 1/ 2
|
и ϕ = 0 :
|
|
x = a cosωt
|
(18)
|
|
|
y = b cos 2ωt.
|
|
Выразим во втором уравнении системы (18) cos 2ωt через cosωt , а этот косинус – из первого уравнения:
cos 2ωt = 2cos2 ωt −1; cosωt = x / a .
Литература
1. Т.И.Трофимова. Курс физики.– М.: Высшая школа, 1985. с.209-212.
2. И.В.Савельев. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. с.238-296, 256-269.
Do'stlaringiz bilan baham: |