Самостоятельная работа на тему уравнение бернулли

Решение: фактически аналог Примера № 3 с разрывом 1-го рода в точке  . В данной задаче период разложения  , полупериод  . Функция определена только на полуинтервале  , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.
Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям:


На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой  открываем продолжение решения?
Во-первых, не теряем первый интеграл  , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу  перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы  . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.
Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов.
Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл  рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)
3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:


Подставим найдённые коэффициенты Фурье  в формулу  , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале  строим прямую  , а на интервале  – прямую  . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва  и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов  сумма  также будет равна серединам «скачка» разрыва  .
Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале  и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах 
Ответ: 
Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец:  . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке  , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.
На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.
А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы: