Samolyotni optimal yuklash masalasi

Matematik modellashtirish ON-2 mavzulari .

1. Samolyotni optimal yuklash masalasi .
Quyidagi masalani tahlil qilaylik. N turdagi qadoqlangan mahsulotlar berilgan bo’lib, ushbu mahsulotlar bilan umumiy yuk ko’tarish quvvati W birlikka teng bo’lgan samolyotni to’ldirish kerak bo’lsin. xar bir mahsulotning bir donasining og’irligi birlik va undan keladigan sof foyda birlikni tashkil etsin. Samolyotni shunday mahsulotlar bilan to’ldirish kerakki:

1. 
   yukning umumiy og’irligi W birlikdan oshmasin;
   
2. 
   yuklangan mahsulotlardan olinadigan umumiy sof foyda eng katta bo’lsin.
   

Ushbu masalaning chiziqli optimizatsiya modelini quramiz va uni dinamik programmalashtirish usuli bilan yechamiz. Masalada aniqlanishi kerak bo’lgan miqdor -mahsulotdan nechta dona olinishidir, shu tufayli deb mahsulot sonini belgilaymiz, u holda

miqdor dona -mahsulot og’irligi

miqdor dona -mahsulotdan keladigan sof foyda bo’ladi.

U holda
-yukning umumiy og’irligini,

-yukdan keladigan umumiy sof foydani bildiradi. Masala shartiga ko’ra chiziqli optimizatsiya modelini quramiz.
(3.1)
xosil qilingan masalani dinamik programmalashtirish usuli bilan yechamiz. Ushbu masalani yechishda mahsulotlar soni va samolyotning yuk ko’tarish quvvati bo’yicha induksiya usulini qo’llaymiz. ya’ni samolyot faqat 1-mahsulot bilan to’ldirilsin. U holda

-yuk ko’tarish quvvati birlikka teng bo’lgan

samolyot 1-mahsulot bilan to’ldirilgandagi

maksimal sof foyda miqdori .
, (3.2)

bu yerda optimal yechim. Samolyotning yuk ko’tarish quvvati- ni 0 dan W gacha o’zgartirish natijasida quyidagi jadvalni hosil qilamiz.

0	0	0
1
2	-	-
-	-	-
W

Kelgusi bosqichda mahsulotlar sonini yana bitta mahsulotga oshiramiz, ya’ni yuk ko’tarish quvvati bo’lgan samolyotni {1} va {2} mahsulotlar bilan to’ldiramiz. Agar {2} maxsulotdan dona olinsa, uning og’irligi miqdorga va undan keladigan foyda miqdorga teng bo’ladi. Bu holda {1} maxsulot uchun og’irlik ajratilishi mumkin bo’ladi. Bu og’irlik {1} mahsulot bilan optimal ravishda to’ldirilsa, undan keladigan foyda ga teng bo’ladi. Maqsadimiz umumiy foydani kattalashtirish bo’lganligi tufayli, {2} mahsulotlar soni miqdor shunday tanlanishi kerakki, buning natijasida ikkala mahsulotdan olinadigan umumiy foyda

eng katta bo’lsin,

ya’ni
(3.3)

-yuk ko’tarish quvvati birlikka teng bo’lgan samolyot {1},{2} mahsulotlar bilan optimal to’ldirilganda olinadigan maksimal foyda miqdorini belgilaydi. Ushbu hol uchun ham qiymatlari uchun va miqdorlar jadvalini quramiz.

0
1
2	-	-
- -	- -	- -
W

Ushbu jarayon quyidagi rekurrent formula asosida davom ettiriladi.

(3.4)
ushbu (3.4) formula ko’rilayotgan masala uchun dinamik programmalashning rekurrent formulasi deyiladi.

Yuqorida keltirilgan masalani aniq ma’lumotlarda dinamik programmalash usuli bilan yechamiz.

bo’lgan hol uchun masalani yechamiz

0	0	0
1	0	0
2	0	0
3	0	0
4 5	1 1	10 10
6	1	10
7	1	10
8	2	20
9	2	20
10	2	20
11	2	20

bo’lgan holda

0	0	0
1	0	0
2	0	0
3 4	1 0	9 10
5	0	10
6	2	18
7	1	19
8	0	20
9	3	27
10	2	28
11	1	29

bo’lgan hol uchun ni hisoblaymiz.

Demak {3}-maxsulotdan 4 dona olish kerak ekan, bu holda {1, 2} mahsulotlar uchun birlik og’irlikka mos optimal yechimni dagi jadvaldan aniqlaymiz.

Agar {2} maxsulotdan bir dona olinsa, u holda {1} maxsulot uchun ajratilgan og’irlik va bo’ladi.

Optimal yechim

va maksimal foyda
va xokazo.