Samarqand Davlat universiteti Raqamli texnologiyalar fakulteti Amaliy matematika yo’nalishi

Agar bo‘lsa, u holda berilgan
sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.

9 Musbat hadli sonli qator

10 Musbat hadli sonli qatorlar yaqinla-shishining alomatlari
Musbat hadli sonli qatorlar uchun quyidagi yaqinlashish va uzoqlashish alomatlarini keltiramiz.1) Taqqoslash alomati. Nomanfiy hadli ikki(3)(4)sonli qatorlar uchun, biror N nomerdanboshlab an≤bn tengsizlik bajarilsa, u

holda:a) (4) qatorning yaqinlashishidan (3) qa-torning ham yaqinlashishi; (3) qatorninguzoqlashishidan (4) qatorning ham uzoq-lashishi kelib chiqadi.b) Musbat hadli (3) va (4) sonli qatorlar-ning umumiy hadlari uchunmavjud va 0
Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Berilgan qatorni uzoqlashuvchi garmonikqator bilan taqqoslaymiz. Buninguchun va kє(0;+∞) ekanligi-ni aniqlaymiz. Bundan berilgan qator uzoqla-shuvchiligi kelib chiqadi.2) Koshi alomati. Agar nomanfiy hadli (3)qator uchun mavjud bo‘lsa,bu qator k<1 bo‘lganda yaqinlashadi, k>1da esa uzoqlashadi va k = 1 da masala ochiq qoladi.

1. 
   
    boʻlsа   dа   boʻlib
   

 boʻlаdi.

Demak (3) qator yaqinlashuvchi boʻlib yigʻindisi   boʻladi.

2. 
   
    boʻlsа   dа   boʻlib, (3) qаtоr uzоqlаshuvchi boʻlаdi.
   

3. boʻlsа, (3) qаtоr   koʻrinishdа boʻlib

   
   

= = boʻlаdi.

.

Dеmаk, qаtоr uzоqlаshuvchi.

4. 
   
    boʻlsа, (3) qаtоr   koʻrinishdа boʻlib,
   

juft sоn boʻlgаndа =0 vа tоq sоn boʻlgаndа = boʻlаdi. Dеmаk,  mаvjud emаs vа qаtоr uzоqlаshаdi.

Shundаy qilib gеоmеtrik prоgrеssiya ya’ni (3) qаtоr fаqаt   boʻlgаndа yaqinlаshuvchi boʻlib,   boʻlgаndа uzоqlаshuvchi boʻlаr ekаn.

1. 
   Sonli qator va uning yig‘indisi. Faraz qilaylik sonlarning biror cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: 
   

Bu sonlardan tuzilgan ushbu

ifodaga cheksiz qator ( qisqacha – qator ) deyiladi.

{a_n} ketma-ketlik hadlari qatorning hadlari deyiladi. (1) ifodada + belgisi qatnashganligi sababli qatorni   ko‘rinishda ham yoziladi. Agar n tayinlangan bo‘lsa, a_n- qatorning n-hadi deyiladi, agar n umumiy holda berilsa, a_n- qatorning umumiy hadi deyiladi. Umumiy had yordamida berilgan qatorning ixtiyoriy hadini yozib olish mumkin. Masalan, agar   bo‘lsa, u holda qator

 yoki 

ko‘rinishda bo‘ladi. Agar   bo‘lsa, u holda quyidagi ko‘rinishdagi qatorga ega bo‘lamiz:

 yoki  .

(1) qatorning birinchi n ta hadi yig‘indisini qaraymiz va uni orqali belgilaymiz:

Bu yig‘indini (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi deyiladi. Bunda S₁ deganda a₁ ni qarashga kelishamiz.

(2) da n ga 1, 2, 3, … qiymatlar berib, quyidagi xususiy yig‘indilar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz:

.

Yuqoridagi {S_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin.

Ta’rif. Agar (2) qatorning xususiy yig‘indilari ketma-ketligi {} chekli limitga ega bo‘lsa, ya’ni   mavjud bo‘lsa, u holda bu qator yaqinlashuvchi qator deyiladi. {} ketma-ketlik limiti

 (2)

qatorning yig‘indisi deyiladi.

Bu holda

 yoki   kabi yoziladi.

Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda uzoqlashuvchi qator deyiladi.

Agar   bo‘lsa, u holda   yoki   kabi yozishga kelishamiz.

Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish) natijasida hosil qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun kerak bo‘ladi.

Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz.

1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:

.

Yechish. Berilgan qatorning n-xususiy yig‘indisi

. Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quyidagi   ko‘rinishda yozib olamiz.

ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda,a1, a2,…, an,… haqiqiy sonlar bo‘lib, qator-ning hadlari, an – had qatorning n – chi hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir (1)sonli qator uchunqismiy yig‘indilar ketma- ketligini qurish mumkin. Agar qator (2) chekli limitga ega bo‘lsa, qa-tor yaqinlashuvchi, S esa uning yig‘indisideyiladi.Misol. Yuqorida keltirilgan misol uchun:Demak, berilgan sonli qator chekli limitga ega ekan. Qator yaqinlashuvchi. Agarbo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, qator uzoqla-shuvchi deb ataladi.

5songa qatorning qoldig‘i deyiladi. Yaqinlashuvchi sonli qator uchun
bo’ladi va demak, yetarlicha katta n laruchun S≈Sn o‘rinli bo‘ladi. Misollar:sonli qatorqa garmonik qator deyiladi va u uzoqlashuvchi qatordir.2) Ushbu sonli qator |q|<1bo‘lsa, yaqinlashuvchi va yig‘indisiga teng bo‘ladi.