5. Nurlanish va konveksiya jarayonining ikki o’lchovli plastinkadagi issiqlik
uzatilish jarayoniga ta’siri masalasi
Masalaning matematik qo‟yilishi quyidagicha:
Plastinkaning ikkala chetida issiqlik uzatilishi jarayonini nurlanish va
konveksiya hisobiga tashqi muhit bilan issiqlik almashinish amalga oshgan hol
uchun tahlil qilaylik.
Uning yechimlar sohasi quyidagicha (8-rasm).
8-rasm.Yechimlar sohasi.
Plastinkaning o‟lchamlari quyidagicha: L = H = 0,3 m.
Plastinka materiali qattiq rezinadan iborat bo‟lib, uning xarakteristikalar
quyidagicha:
= 0,16 Vt/(m
C);
= 1190 kg/m
3
; c = 1900 J/(kg
C).
Yechim sohasining boshlang‟ich temperaturasi:
.
Qolgan parametrlar quyidagicha:
;
;
;
;
;
Masalaning matematik modeli quyidagicha:
- issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasi
20
- boshlang‟ich shart
;
- chegaraviy shartlar
Ushbu tuzilgan (5.1)-(5.2) masalani fazo va vaqt bo‟yicha teng o‟lchovli
to‟rbo‟yicha sonli yechamiz (9-rasm).
(5.1) differensial tenglamani chekli ayirmali tenglamaga o‟tkazish uchun
vaqt-fazo bo‟yicha quyidagicha koordinatali to‟r kiritamiz:
bu yerda h
x
, h
y
– mos x, y koordinatalar bo‟yicha to‟r qadamlari;
- vaqt bo‟icha
qadam; hisob sohasini to‟lasincha to‟r bilan to‟ldiramiz, ya‟ni
Izlanayotgan funksiya uchun
belgilash kiritamiz.
Dastlabki (5.1) differensial tenglamani diskretlashtirishni A.A.Samarskiyning
bir o‟lchovli lokal sxemasi asosida amalga oshiramiz, bunda bu sxema absolyit
ustivor va yig‟indi approksimatsiya xossasiga ega. Bu sxemaning mazmuni
shundan iboratki, vaqt bo‟yicha qadam ikki bosqichda amalga oshiriladi: vaqtning
21
oraliq qadamida (5.1) tenglamani faqat x o‟qi yo‟nalishida diskretlashtiramiz va bir
o‟lchovli tenglamaga kelamiz; undan keyin (5.1) tenglamani yana
diskretlashtiramiz, endi buni faqat y o‟qi yo‟nalhida bajaramiz va yana bir
o‟lchovli tenglamani hosil qilamiz, keyin esa vaqtning to‟la qadamida temperatura
maydonini aniqlaymiz.
9-rasm.Hisob sohasining ayirmali to‟ri.
Shunday qilib,
(5.3)
(5.4)
Bu oxirgi ikki ayirmali tenglama standart uchdiagonalli holatga keltiriladi va
progonka usuli bilan yechiladi. Avvalo butun soha bo‟ylab (5.3) tenglama
yechiladi, keyin esa uning topilgan yechimlari asosida (5.3) tenglama yechiladi.
22
(5.3) tenglamani progonka usuli bilan yechishni qarab chiqaylik. Buning
uchun bu tenglamani quyidagi ko‟rinishga keltiramiz:
Bu tenglamaning koeffisiyentlari A
i
, B
i
, C
i
lar quyidagicha topiladi:
Ushbu
progonka koeffisiyentlarini aniqlash uchun avvalo chap chegaraviy shardan α
1
va
β
1
larni aniqlaymiz. Bular asosida esa qolgan koeffisiyentlar topiladi:
Undan keyin
- o‟ng chegaraviy shartdan topiladi; vaqtning yarimqatlamida
- temperatura maydoni topiladi. Keyin (5.4) tenglamani yechishga o‟tiladi.
Bu tenglamani yechish ham xuddi (5.3) ni yechish kabi.
Chegaraviy shartlar approksimatsiyasi quyidagicha.
x=0 chegara uchun:
Bu yerda quyidagicha belgilash kiritamiz:
.
23
Bunga ko‟ra
yoki
Bu tengliklardan ko‟rinib turibdiki, progonka koeffisiyenti β
1
chap chegaraviy
shartdagi temperaturadan bog‟liq.Shuning uchun temperature maydonini
aniqlashda, masalan, oddiy iteratsiya usulidan foydalanish maqsadga muvofiq. Bu
usulning tadbiqi g‟oyasiga ko‟ra vaqtning har bir qadamida iteratsiya hisoblashlari
shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi, bunda s – iteratsiya nomeri;
- hisoblash
aniqligi.
Xuddi shunday y=L chegarada ham hisoblahlar quyidagicha amalga
oshiraladi:
chunki
u holda
24
yoki
Bu o‟ng chegarada temperaturani aniqlash uchun nochiziqli tenglama.Bu
nochiziqli tenglamani T
N
ga nisbatan oddiy iteratsiya usuli bilan yechish mumkin.
Nochiziqli
chegaraviy
shartni
approksimatsiyalash
jarayonini
qarab
chiqaylik.Faraz
qilqylik,
chegarada
issiqlik
o‟tkazuvchanlik tenglamasi
bajarilsin.T(x) funksiyani x=0 nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyih orqali quyidagi
ifodaga kelamiz:
Buni endi berilgan bir o‟lchovli issiqlik o‟tkazuvchanlik tenglamasiga qo‟llasak, u
holda quyidagilarga kelamiz:
Masalaning chegaraviy shartlaridan birinchisida esa
Oxirgi ikkita ifodalarni o‟zaro tenglashtirsak,
25
Shunday qilib,
O‟ng chegaraviy sgartdan T
N
ni quyidagicha topamiz:
Shunday qilib, ushbu
tenglikdan quyidagilar kelib chiqadi:
26
x=L va y=0 chegaralarda ham hisoblashlar hosilalarni xuddi shunday
approksimatsiyalash orqali bajariladi, faqat bularda tenglikning o‟ng tarafi holga
tengligi e‟tiborga olinadi.
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.
Do'stlaringiz bilan baham: |