Samarqand davlat universiteti matematika fakulteti nazariy mexanika kafedrasi

Topshiriq:
M nuqtaning berilgan harakat tenglamalari asosida,uning
trayektoriya tenglamasi, vaqtning 
𝑡 = 𝑡
1
paytida traektoriyadagi vaziyati,
tezligi, to’la tezlanishi, urinma va normal tezlanishlari, tegishli nuqtada 
trayektoriyaning egrilik radiusi topilsin. Natijalar shaklda tasvirlansin
 
7-masala.
Berilgan: 
𝑥 = 𝐴𝑡 − 3
; 
𝑦 = 𝐵𝑡
2
+ 𝑡 + 3
(1)
Bunda 
𝑡
1
= 1 𝑠
;
𝑥, 𝑦 – 𝑠𝑚 𝐴 = 8, 𝐵 = 7
𝑥 = 8𝑡 − 3
𝑦 = 7𝑡
2
+ 𝑡 + 3
Yechish. 1. 
(1) harakat tenglamalari parametrik ko’rinishdagi trayektoriya 
tenglamasidir, bunda parametr – t. Trayektoriyaning dekart koordinatalaridagi 
tenglamasini topish uchun dan t ni yo’qotish kifoya. Buning uchun ularni 
quyidagicha yozib olamiz 
{
𝑥 + 3
𝐴
= 𝑡
𝑦 = 𝐵 (
𝑥 + 3
𝐴
)
2
+
𝑥 + 3
𝐴
+ 3
𝑦 = 7 (
𝑥+3
8
)
2
+
𝑥+3
8
+ 3
(2) 
2. 
Harakat tenglamalari (1) dan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosila olib, 
tezlikning Dekart koordinatalari o’qlaridagi proyeksiyalarini topamiz.
{
𝑣
𝑥
= 𝑥̇
𝑣
𝑦
= 𝑦̇
𝑣
𝑥
= 8
, 
𝑣
𝑦
= 14𝑡 + 1
. 
(3)
Bular asosida 
𝑣̅
tezlikning moduli va yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz: 
|𝑣̅| = √𝑣
𝑥
2
+ 𝑣
𝑦
2
= √8
2
+ (14𝑡 + 1)
2
= √196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
cos(𝑣̅ ^ 0𝑣
𝑥
) =
𝑣
𝑥
𝑣̅
=
8
√196𝑡
2
+28𝑡+65
cos(𝑣̅ ^ 0𝑣
𝑦
) =
𝑣
𝑦
𝑣̅
= −
14𝑡+1
√196𝑡
2
+28𝑡+65
(4) 
Nuqta tezlanishi vektori 
𝑤
̅
ning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalarini topish

---

uchun (3) tenglamalardan t vaqt bo’yicha birichi tartibli hosila olamiz:
𝑤
𝑥
= 𝑣
𝑥
̇ = 0
𝑤
𝑦
= 𝑣
𝑦
̇ = 14
|𝑤
̅| = √𝑤
𝑥
2
+ 𝑤
𝑦
2
= √0
2
+ 14
2
= 14
tezlanish vektorining yo’naltiruvchi kosinuslari quydagicha topiladi: 
cos(𝑤
̅ ^0 𝑤
𝑥
) =
𝑤
𝑥
𝑤
̅
=
0
14
= 0
(
5
1
) 
cos(𝑤
̅ ^0 𝑤
𝑦
) =
𝑤
𝑦
𝑤
̅
=
14
14
= 1
3.
Nuqta trayektoriya bo’ylab to’xtab – to’xtab harakat qilishi mumkin, 
lekin harakat yo’nalishi birinchi to’xtaguncha va to’xtashlar oraliqlarida 
o’zgarmaydi. To’xtashdan keyin nuqta o’z harakatini ilgarigi yo’nalishda davom 
ettiradi yoki teskari yo’nalishga o’zgartiradi. Shuning uchun ham nuqtaning
to’xtaydigan paytlarini va joylarini aniqlash zarur. Bu esa nuqta to’xtalganida uning 
tezligi nolga teng bo’lishi shartidan topiladi, ya’ni 
= 0
.
|𝑣̅| = 𝑣
𝜏
= √196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
Demak, nuqta tinch holatdan harakatga keladi. Bu tenglikni vaqt bo’yicha noldan t 
gacha integrallasak nuqtaning trayektoriya bo’ylab harakat qonuni kelib chiqadi, 
ya’ni 
𝑠(𝑡) = ∫ 𝑣
𝜏
𝑑𝑡 = ∫ √196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
𝑡
0
𝑡
0
𝑑𝑡
4. 
Yuqorida keltirilgan formulaga asosan nuqta tezlanishining trayektoriyaga
o’tkazilgan urinmadagi proyeksiyasi 
𝑤
𝜏
=
𝑑𝑣
𝜏
𝑑𝑡
=
196𝑡 + 14
√196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
Tezlanishning moduli 
|𝑤
̅| = √𝑤
𝜏
2
+ 𝑤
𝑛
2
bo’lgani uchun normal tezlanish
quyidagicha topiladi 
𝑤
𝑛
= √𝑤
2
− 𝑤
𝜏
2
= √14
2
− (
196𝑡 + 14
√
196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
)
2
=
112
√
196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
Yuqorida topilganlarga asosan egrilik radiusini topish qiyinchilik tug’dirmaydi

---

𝜌 =
𝑣
2
𝑤
𝑛
=
√(196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65)
2
112
√196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
=
(196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65)√196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
112
5. 
Vaqtning 
𝑡
1
= 1
sek payti uchun tegishli formulalardan quyidagilarni topamiz: 
𝑥(1) = 8𝑡 − 3 = 5 𝑠𝑚
𝑦(1) = 7𝑡
2
+ 𝑡 + 3 = 11 𝑠𝑚
; 
𝑣
𝑥
(1) = 8 𝑚/𝑠
; 
𝑣
𝑦
= 14𝑡 − 1 = 13 𝑚/𝑠
; 
𝑣(1) = √196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65 = 17
sm/s 
𝑤
𝑥
(1) = 0 𝑠𝑚/𝑠
2
𝑤
𝑦
(1) = 14 𝑠𝑚/𝑠
2
𝑤(1) = 14 𝑠𝑚/𝑠
2
𝑤
𝜏
(1) =
196𝑡 + 14
√196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
= 12.4 𝑚/𝑠
2
𝑤
𝑛
(1) =
112
√196𝑡
2
+ 28𝑡 + 65
= 6.6 𝑚/𝑠
2
6. Tezlik va tezlanish hamda ularning dekart va tabiiy koordinatalar
sistemalaridagi proyeksiyalari 4-rasmda keltirilgan 
𝑥
4 − 𝑟𝑎𝑠𝑚
𝑤
𝜏
𝑦
𝑤
̅
𝑣
𝑥
𝑣
𝑦
𝑣
𝑤
𝑛