Samarqand davlat universiteti birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni bir qadamli sonli



Download 2,69 Mb.
Pdf ko'rish
bet10/24
Sana02.04.2022
Hajmi2,69 Mb.
#524946
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   24
Bog'liq
AbdirashidovA.BirinchitartibliODTlarnibirqadamlisonliusullaryordamidayechishUK2018

x
i
+1
nuqtadagi qiymati. 
Bu qiymatni Teylor formulasi boʻyicha ifodalaymiz, bunda yoyilman-
ing uchunchi tartibgacha kichiklikdagi hadlarini saqlab qolamiz: 
 
 
 
3
)
(
2
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
'
'
'
6
1
)
(
'
'
2
1
)
(
'
)
(
)
(
h
h
x
y
h
x
y
h
x
y
x
y
x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i







. (62) 
(60) va (61) tengliklarga koʻra 
i
i
i
y
x
y


)
(
1
)
(
,
 
)
,
(
))
(
,
(
)
(
'
)
(
1
)
(
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
x
y
x
f
x
y



. (63) 
Bundan tashqari avval (60) tenglikni differensiallab, keyin esa uni qayta 
qoʻllab, quyidagi munosabatga kelamiz: 
 
 




)
(
'
))
(
,
(
'
))
(
,
(
'
)
(
''
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
i
i
y
i
x
i
))
(
,
(
))
(
,
(
'
))
(
,
(
'
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
i
i
y
i
x



, (64) 
bu yerda 
x = x
i
almashtirish olib, (61) ga koʻra quyidagi tenglikka ega 
boʻlamiz: 
 
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
)
(
'
'
)
(
i
i
i
i
y
i
i
x
i
y
x
f
y
x
f
y
x
f
x
y



. (65) 


27 
(63) va (65) lardan foydalanib, (62) yoyilmani quyidagicha yozish mum-
kin: 









2
1
)
(
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
2
1
)
,
(
)
(
h
y
x
f
y
x
f
y
x
f
h
y
x
f
y
x
y
i
i
i
i
y
i
i
x
i
i
i
i
i
 
3
)
(
)
(
''
'
6
1
h
h
x
y
i
i
i



(66) 
Lokal xatolik uchun (59) ifodadagi 
y
i
+1
miqdor (54) formula orqali 
beriladi. Bu ifodaning oʻng tarafini ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun 
(
x
i
,
y
i
) nuqtada Teylor formulasi boʻyicha yoysak, quyidagini hosil qilamiz: 














)
,
(
)
,
(
2
))
,
(
,
(
)
,
(
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
x
f
y
x
f
h
y
y
x
hf
y
h
x
f
y
x
f
h
y
y








2
)
~
,
~
(
''
2
1
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
h
y
x
f
y
x
f
h
y
x
f
h
y
x
f
i
i
xx
i
i
i
i
y
i
i
x












h
y
x
f
y
y
x
f
h
y
x
f
y
x
f
h
h
y
x
f
i
i
i
i
i
i
i
yy
i
i
i
i
xy
)
,
(
)
,
(
)
~
,
~
(
''
)
,
(
)
~
,
~
(
''
2
2
2











)
,
(
)
~
,
~
(
'
'
2
)
~
,
~
(
'
'
2
1
)
,
(
)
,
(
'
)
,
(
'
2
1
2
i
i
i
i
xy
i
i
xx
i
i
i
i
y
i
i
x
y
x
f
y
x
f
y
x
f
h
y
x
f
y
x
f
y
x
f
3
2
))
,
(
)
~
,
~
(
''
h
y
x
f
y
x
f
i
i
i
i
yy


, (67) 
bu yerda 
i
i
y
x
~
,
~
- ikkita (
x
i
,
y
i
) va 


))
,
(
,
(
,
1
1
i
i
i
i
i
i
y
x
hf
y
x
y
x




nuqtalarni 
tutashtiruvchi kesma boʻylab yotuvchi kenglik nuqtalarining koordinata-
lari. 
(66) va (67) tengliklarni ixchamroq holda yozib, ikki oʻzgaruvchili 
funksiyalar argumentlarini tashlab yuborib, agar ular 
x
i

y
i
larda teng 
boʻlsa, quyidagilarga kelamiz: 











2
1
)
(
'
'
2
1
)
(
h
f
f
f
h
f
y
x
y
y
x
i
i
i
 
3
)
(
)
(
'
'
'
6
1
h
h
x
y
i
i
i



, (68) 


3
2
1
'
'
2
1
h
h
f
f
f
h
f
y
y
i
y
x
i
i











, (69) 
bu yerda quyidagi belgilash qabul qilingan: 


2
)
~
,
~
(
''
)
~
,
~
(
''
2
)
~
,
~
(
''
2
1
f
y
x
f
f
y
x
f
y
x
f
i
i
yy
i
i
xy
i
i
xx
i






. (70) 
(68) va (69) ifodalarni oʻzaro taqqoslab, ularda 
h
boʻyicha nolinchi, 
birinchi va ikkinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz kichik miqdorlar bir 
xil va shuning uchun ularni (59) ifodaga qoʻyganimizda ular oʻzaro qis-
qarib ketadi. Demak, Eyler toʻgʻrilangan usulining lokal xatoligi quyidagi-
ga teng: 
 
3
3
)
(
)
2
(
1
)
(
''
'
6
1
h
h
h
x
y
i
i
i
i
i










, (71) 


28 
shunga koʻra bu 
h
ga nisbatan uchinchi tartibgacha kichiklikdagi cheksiz 
kichik miqdor. Bunda (71) munosabatning oʻng tarafidagi ikkinchi had
(-

i
h
3
) ning moduli yuqoridan 
M
7
ˑ
h
3
miqdor bilan baholanadi, bu yerda 
(70) ga koʻra 
M
7
ning qiymati quyidagicha: 
M
7
= (
M
4
+2
 M
5

 M
1
+
 M
6

(
M
1
)
2
)/2 
Birinchi handing moduli esa xuddi hu tartibli 
M
6

h
3
cheksiz kichik mi-
qdor bilan yuqoridan baholash imkonini beradi, ammo bunda oʻzgarmas 
M
S
. Bu oʻzgarmasni topish uchun (64) tenglikning oʻng tarafini differensi-
allash lozim va (60) munosabatdan foydalanib, 
y
(
i
)
yechimning uchinchi 
hosilasini hamda uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini differensial 
tenglamaning oʻng tarafi orqali quyidagicha ifodalash zarur:
 
 




))
(
,
(
))
(
,
(
''
))
(
,
(
''
)
(
''
'
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
i
i
xy
i
xx
i







))
(
,
(
))
(
,
(
))
(
,
(
''
))
(
,
(
''
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
i
i
i
yy
i
xy


))
(
,
(
'
))
(
,
(
))
(
,
(
'
))
(
,
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
x
y
x
f
i
y
i
i
y
i
x




, (72) 
bu yerdan 
M
S
oʻzgarmasning qolgan 
M
1

M
2
,
 M
3
,
 M
4
,
 M
5
,
 M

oʻzgarmaslar 
orqali ifodasi kelib chiqadi. 
Shunday qilib, 


M
8
+
 M
7
konstantali (58) baholash oʻrnatildi. 
3-misol.
Eylerning modifikatsiyalangan usuli holida lokal xatolik 
xuddi (58) baholash kabi baholashni (boshqacha aytganda 
M
oʻzgarmasli) 
qanoatlantirishini koʻrsating. 
2-teorema.
Eylerning toʻgʻrilangan usuli holida toʻr yechimning 
xatoligi quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi: 
2
,...,
1
,
0
max
Ch
i
N
i



, (73) 
bu yerda 
C
– chekli oʻzgarmas boʻlib, 
h
dan bogʻliq emas, uning qiymati 
M
1

M
2
,
M
3
,
M
4
,
M
5
,
M

oʻzgarmaslar qiymati va integrallash kesmasi 
L
ning uzunligi bilan aniqlanadi. 
Isbot.
Eyler oshkor usulining (53) baholashiga oʻxshash chiqarilgan 
tahlillar shuni koʻrsatadiki, Eyler oshkor usulining hisob formulasi lokal 
xatoliklar uchun (4) baholashni chiqarish uchun foydalaniladi. Bundan 
keying fikrlar esa umumiy xarakterga ega boʻlib, ularni ixtiyoriy bir 
qadamli usullarga qoʻllash mumkin. Bu fikrlarni chiqarish bilan birga (40) 
dagi 
Mh
2
majorantni (58) dagi Eyler modifikatsiyalangan usulining lokal 
xatoligi majorantasi 
Mh
3
bilan almashtirib, yuqorida taʼkidlangan xos-
salarga ega boʻlgan 
C
oʻzgarmasli (73) baholashga kelamiz. 
11-izoh. 
(73) baholash (boshqa 
C
oʻzgarmasli) Eylerning modi-
fikatsiyalangan usuli uchun ham oʻrinli. 


29 
12-izoh. 
(73) baholash Eylernig oshkor usuli uchun chiqarilgan (4) 
baholashga nisbatan toʻr qadami nolgan intilgandagi toʻr yechimning te-
zroq yaqinlashishini kafolatlaydi (
h
qadam ikki marta kamaytirilganda (73) 
tengsizlikning oʻng tarafi, demakki, Eylerning toʻgʻrilangan va modi-
fikatsiyalangan usullarining toʻr yechimi absolyut xatoligining mumkin 
boʻlgan limitik qiymati toʻrt marta kichrayadi, u holda (40) baholash 
uchun toʻr qadamining xuddi shunday kamayishida Eyler oshkor usuli ab-
solyut xatoligining mumkin boʻlgan limitik qiymati ikki marta kichrayadi).

Download 2,69 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   24




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish