Ряды Фурье

Funksiyalarni berilgan oraliqda fure qatoriga yoyishning funksional va grafik usulada ko’rish

O`zgaruvchilarni ajratish (Furye) usuli

• Uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan tor tebtanishi tenglamasi masalasi uchun Furye yoki o`zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi:

Misollar

Keling, bunday integrallarning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.

Furye seriyasining ta'rifi

trigonometrik qator

,

koeffitsientlari Furye formulalari bilan hisoblangan, ya'ni.

p davri bo'lgan davriy funktsiyaning Furye qatori deyiladi .

Bo'lakli monoton funksiyaning ta'rifi

f ( x ) funksiyasi [ a , b ] segmentida parcha-parcha monoton deyiladi , agar bu segmentni cheklangan miqdordagi nuqtalar bilan intervallarga bo'lish mumkin bo'lsa, ularning har birida funktsiya monoton bo'ladi.

Parchalangan monoton funksiyalarga misollar : 1) , 2) sinx , 3) cosx .

Furye qatorining yaqinlashuvi uchun etarli mezon

Agar davri 2  bo‘lgan davriy funksiya 1) bo‘lak-bo‘lak monotonik, 2) [-  ,  ] segmentida uzluksiz bo‘lsa yoki 1-turdagi chekli sonli uzilish nuqtalariga ega bo‘lsa, bu funksiyaning Furye qatori bo‘ladi. bu segmentning barcha nuqtalarida birlashadi. Hosil boʻlgan S ( x ) qator yigʻindisi funksiyaning uzluksizlik nuqtalaridagi f ( x ) funksiyaning qiymatiga, uning uzilish nuqtalarida esa qatorlar yigʻindisi yarim-ga teng boʻladi. funktsiyaning chap va o'ng chegaralari yig'indisi, ya'ni x = c sinish nuqtasi bo'lsa, u holda

.

Juft funksiyalarni Furye seriyali kengaytirish

Agar f(x) juft funksiya, keyin funksiyalar

toq va funksiyalar juft har qanday n=1,2,…

uchun. U holda, aniq integralning xususiyati tufayli:

, agar f ( x ) toq bo'lsa, va

,

agar f ( x ) juft

Davomi

olamiz

Keyin bizda:

qayerda

teng funksiya uchun.

Toq funksiyaning Furye qatori

Agar f(x) funksiya toq va davriy boʻlsa, davri 2 p boʻlsa, uning Furye qatori quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:

,

bu erda koeffitsientlar

funksiyaning Furye qatori davri 2 l

Agar f(x) funksiya 2l davriga ega bo'lsa , bu erda l noldan katta har qanday son bo'lsa, u holda uning Furye qatorini davriy 2 p davri bo'lgan Furye qatoridan olish mumkin. sozlash orqali funktsiyalarni bajaradi. Keyin

p davriga ega . Haqiqatdan ham:

p

Davomi

Funktsiyani ketma-ket kengaytiramiz va keyin eski o'zgaruvchiga qaytaylik. Bizda ... bor

, qayerda

,

,

Juft funksiyaning Furye qatori

p davriga ega davriy funktsiyaning Furye qatori qanday olingani kabi, davri 2 l bo'lgan funktsiya qatorini olish mumkin . Keyin bizda quyidagi formulalar mavjud: , qaerda

Toq funksiyaning Furye qatori

Agar funktsiya toq bo'lsa, uning Furye qatori sinus qatordir va uni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

, qayerda

Davriy bo'lmagan funktsiyalarning Furye seriyasining kengayishi

Agar funktsiya davriy emas, keyin bu funksiya davriyga uzaytiriladi. Keyin hosil bo'lgan davriy funktsiya Furye qatoriga kengaytiriladi, bu funktsiya berilgan oraliqda f ( x ) funktsiyasiga yaqinlashadi, agar u, albatta, Furye yaqinlashuvi uchun etarli mezon uchun shartlarni qondirsa. seriya. Bunday holda, funksiya turli usullar bilan davriy funktsiyaga kengaytirilishi mumkin. Xususan, u juft yoki toq qilib uzaytirilishi mumkin.

Buni qanday qilish mumkin, keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik.

Furye qatoridagi funktsiyani kengaytirishga misol

biri). Furye qatoridagi y \u003d x funktsiyasini a) sinuslar va b) kosinuslar bo'yicha kengaytiring. Biz funktsiyani kengaytiramiz davriy ravishda g'alati tarzda.

Yechim

Keyin qayerda

Biz integralni qismlar bo'yicha hisoblaymiz:

Davomi

Shunday qilib, va

, qayerda yoki

de
xoh

Davomi

Endi f ( x ) ni davriy funktsiyaga teng ravishda kengaytiramiz. Keyin.

Davomi

Hatto n qavs ichidagi ifoda nolga teng va shuning uchun , va qachon - g'alati, ya'ni. da ,

. Keyin

(0,  ) oraliqda kengayishini oldik .