Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

size of the sheet is 39 cm by 24 cm. What must be the length of

the side of one of the squares cut out of the tin sheet in order for

the bottom of the baking sheet to have an area of 700 cm

2

?

2. The lengths of the sides of the Egyptian triangle are expressed

by consecutive positive integers: 3, 4, and 5. Is there any other

right triangle whose sides have lengths that are also expressed by

consecutive positive integers?

3. A signal rocket is launched at an angle of 45

◦

to the horizon,

with an initial velocity of 30 m/s. Its altitude at each moment

in time may be calculated approximately using the formula

h = 2 + 21t − 5t

2

. After how many seconds will the rocket reach

an altitude of 10 m?

The equation formulated on the basis of the first problem has roots

x

1

= 29.5, x

2

= 2 (x is the length of the side of one of the squares cut

out of the tin sheet). The first root is not a solution to the problem,

since it is impossible to cut out a square with side 29.5 cm from a tin

sheet one of whose sides is 24 cm.

The equation formulated on the basis of the second problem has

roots n

1

= 3, n

2

= −1 (n is the length of the shortest side of the

desired triangle). The number

−1 does not satisfy the conditions given

in the problem, since a length cannot be expressed through a negative

number. If n = 3, we obtain a triangle with sides 3, 4, and 5. Therefore,

the only right triangle whose sides have lengths that are represented by

consecutive positive integers is the Egyptian triangle.

The equation in the third problem has roots t

1

≈ 0.4, t

2

≈ 3.8.

In this case, both roots are solutions to the problem. The rocket will

be at an altitude of 10 m twice: once on the way up, and once on the

way down.

Certain differences in methodological approaches to presenting alge-

braic material in grades 7–9. The content that forms the foundation

for the presentation of algebraic material is the same in all textbooks

(as already noted, it is prescribed by the same official document).

At the same time, the scientific-methodological principles on which

the presentation of educational material in different textbooks is

based may differ considerably. This makes it possible for teachers

to select that version of the structure of the course which they

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March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

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prefer. Below, we examine, on the basis of the same two series of

textbooks by Makarychev et al. and Dorofeev et al., the distinctive

methodological features that teachers must compare to make a well-

informed decision.

First of all, in these two series of textbooks, one finds different

attitudes toward the presentation of the theoretical aspects of literal

numeration and the theory of equations. Thus, in the textbooks of

Makarychev et al., at the very beginning of the presentation of the

algebraic material, students are introduced to such basic concepts as

identical expressions, identity, equivalent equations, and equivalent

transformations of equations. Subsequently, the concept of identity

is defined more precisely, in connection with the study of algebraic

fractions. The whole subsequent exposition makes use of this termi-

nology, which renders the language of the exposition quite formal and

not always well-suited, as we believe and as experience demonstrates,

to the intellectual capacities of students of this age.

The authors of this series of textbooks present theory as far as

possible in a “rigorous” manner. A substantial number of facts in the

textbooks are accompanied by proofs. The authors prefer rigorous

computations to plausible-sounding arguments. For example, in the

section on “Algebraic Fractions” (Makarychev et al., 2009b), they offer

the following proof of the basic property of fractions:

We know the “basic property of fractions”: