Russian Mathematics Education

6.2

Visual and Informal Geometry in the Study

of Three-dimensional Geometry in Basic Schools

“Draw different polyhedra with five vertices.” In order to solve this

problem, students do not need, as we have already pointed out above, a

formal definition of a polyhedron or a long discussion on what is meant

by the word “different” (this can always be explained if necessary).

Meanwhile, this problem is useful for developing students’ spatial

notions and their mathematical imagination in general.

Such a problem can be given to a seventh grader and sometimes

even to a sixth grader. Today’s programs assign a place to such

problems, such as in grades 5 and 6, when covering the topic “Visual

Geometry.” The textbook by Dorofeev and Sharygin (2002), for

example, acquaints students with the concept of axial symmetry and

symmetry with respect to a plane, asks them to think about why a right

parallelepiped always has three planes of symmetry, and even asks them

to investigate whether the plane that passes through the diagonals of

the opposite faces of a cube is the cube’s plane of symmetry. No formal

proofs are given here, and a great deal simply relies on pictures, but

even so some deductive arguments emerge.

The informal element must play a role in subsequent studies as

well. One of the advantages of geometry is that it is a field in which

it is natural to give (literally, to show) examples, to think about which

pictures are possible and which pictures are impossible, to make models

with one’s own hands — again, literally — and thus to overcome the

abstractness of mathematics, and so on. All of this must be done not

only in grades 5 and 6, but also in all subsequent grades.

The informal element, including the informal study of three-

dimensional geometry, has had a complicated history in Russian

schools. In the first years after the Revolution, following the recom-

mendations of the international reform movement, it received a great

deal of attention. Then it was sharply scaled down (almost destroyed),

on the grounds that it was not able to give the children any sound

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch03

122

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

knowledge, but only distracted them from the main thrust of the course

(Karp, 2010). Today, attention is again returning to the informal study

of geometry in general, and to the early and informal study of solid

geometry in particular.

How should this be done, however? How should visual represen-

tations be developed without forfeiting deductive logic? How should

solid geometry be introduced early on in the course without weakening

attention to plane geometry? As we have already pointed out, one

approach has been simply to add a solid geometry chapter to the

course in plane geometry. There have also been attempts to combine

the two courses, as described above. A good teacher will never pass

up an opportunity to show the figure that is being studied, even a

two-dimensional one, in the surrounding world, which is a three-

dimensional world — thus automatically connecting the planar with

the spatial. In any case, if the study of geometry has been “rigorous”

for a thousand years, then attempts to study it informally at the school

level have a far shorter history. Meanwhile, informal study is in many

respects no less important, both as preparation for formal study and as

a way of developing students.