Russian Mathematics Education

6.3

The New and the Old in the Teaching

of Geometry

Alexandrov was, as we have already noted, a committed supporter of

the classic geometric method, which goes back to Euclid. Nonetheless,

he formulated proofs that were fundamentally new in school geometry.

One of them is given below.

The classic school theorem “a line

L that is not perpendicular or

parallel to plane

P (an inclined straight line) is perpendicular to a line M

in plane

P if and only if the projection of L onto plane P is perpendicular

to

M” has usually been proven using congruent triangles. In Kiselev’s

textbook, for example, this was done as follows (Fig. 4):

Let AB be a perpendicular to plane

P, AC an inclined straight line,

and BC the projection of that straight line onto plane

P. On the

straight line, let us mark off equal segments CE and CD from point

C and connect points D and E with points A and B. Now we can see

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Fig. 4.

that if AC

⊥ DE, it follows that ADE is an isosceles triangle, from

which in turn follows the congruence

BD = BE, and because of

the properties of an isosceles triangle this means that BC

⊥ DE. If

it is given that BC

⊥ DE, practically the same argument leads to the

conclusion that AC

⊥ DE.

In place of this proof, Alexandrov suggested the following argu-

ment, which is based on the notion of distance and the following

proposition: the minimum value of the distance from point A, lying

outside a straight line, to the points of this straight line is found at

a point that is the base of the perpendicular dropped from A to this

straight line.

Let us take a variable point

X on the given straight line and consider

the two values AX

2

and BX

2

. The triangle

ABX is a right triangle.

Therefore, AX

2

= AB

2

+ BX

2

. Therefore, the values AX

2

and BX

2

differ by a constant term. Therefore, these quantities have their least

values simultaneously — for the same point,

X. If X is the base

of a perpendicular dropped from

A, then it is also the base of the

perpendicular dropped from

B and vice versa. (Fig. 5)

What is important is not so much that Alexandrov’s proof is shorter

than Kiselev’s (for students, the former is unlikely to be easier than the

latter), but that it makes it possible to understand in a new way the

essence of a classic theorem — that the theorem is about shortest

distances — and in this capacity may be applied and generalized.

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Fig. 5.

In giving this new proof, Alexandrov proceeded as a modern

geometer, who is not confined to thinking in terms of Euclid’s

categories and methods. Attempting to generalize what has happened

over the course history, one could say, with all the necessary qualifica-

tions, that in school-level instruction there has been a strand oriented

toward the geometry of figures and another strand oriented toward

the geometry of functions. The former — which stems, for example,

from Euclid — finds the basic content of the subject to consist of the

examination and study of the various figures that surround us and their

interrelations; the latter, which stems from Klein, and in a certain sense

from Descartes, pays the greatest attention to the functions that are

important in geometry — geometric transformations. It is likely not by

accident that Kolmogorov, who contributed possibly to all branches of

20th century mathematics, inclined toward the latter approach, which

connects geometry with other mathematical disciplines, while the

geometers Alexandrov and Pogorelov probably found greater affinity

with the former, purely geometric approach.

In saying this, however, we must stress that talking about the purity

of an approach, so to speak, is completely out of place in this context.

The attempt to transform school geometry into a part of some general

mathematical theory about functions, matrices, and so on — although

it might gladden the research mathematician due to its generality —

deprives the student of the experience of direct investigation and

reasoning. On the other hand, it would be strange to deliberately

conceal from the students the new understanding that has come from

the development of science.

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What is old, traditional, and Euclidean is supplemented in Russian

textbooks with what is new and post-Euclidean. This is accomplished

in various ways, and one can argue about the relationship and balance

between these two sides of the curriculum. Transformations, vectors,

and coordinates, in the opinion of the authors of this chapter, must

have a definite place in the school course, although second-generation

standards devote little attention to them. On the other hand, we

also believe that studies should begin, as history did, not with these

materials, but with Euclidean methods. But what is perhaps more

important than adding comparatively or even genuinely new sections

to the traditional material is to read the classic material in a new way.

The degree to which it will be possible to connect traditions

accumulated over the centuries with new mathematical conceptions

and new pedagogical and social demands will define the development

of school geometry in Russia in the 21st century.