Russian Mathematics Education

of Arithmetical Problems and Exercises for Elementary Schools (1898–

1917); V. K. Bellustin

9

(1865–1925), author of Arithmetical Problems

(10 editions before 1919); F. I. Egorov (1845–1915), author of

Collection of Arithmetical Problems (Egorov, 1895); and S. I. Shokhor-

Trotsky (1853–1923), author of Collection of Exercises in Arithmetic

for Public Schools (1888–1915) and Methodology for the Teaching of

Arithmetic (1886; about 10 editions).

Here are a few sample problems from Egorov’s text (1895), which

includes exercises for reproducing calculation strategies along with

more creative problems such as replacing omitted digits in operations

with large numbers (e.g. #766) and calculating the values of expressions

with multiple operations, including problems asking for the most

efficient solution (e.g. #927, #1017):

8 3 5 7

×

6

5

∗ 1 ∗ 2

• 84 · 2 · 30 − 84 · 60

• 21250 ÷ 425 + 2975 ÷ 425 − (21250 + 2975) ÷ 425

Egorov paid special attention to the theory behind arithmetical

operations. In the chapter titled “Changing the Results by Changing

the Terms,”

10

he examined cases where the results of operations

with two or more terms changed when some of the terms increased

and others decreased; and cases where the results remained the same

even when the terms were changed. He made all properties of

arithmetical operations consequent upon the students’ understanding

of such transformations. For example, from the rule concerning the

increase of sums, he derived the following conclusion: “In order to

add any number to a sum, it is sufficient to add this number to

8

K. P. Arzhenikov, Lessons in Elementary Arithmetic (1898), and Methodology of

Elementary Arithmetic (through 1935).

9

V. K. Bellustin, Methodology of Arithmetic (1899–1919).

10

F. I. Egorov, Methodology of Arithmetic (fourth edition in 1904, last in 1917).

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

The History and the Present State

47

any one of the addends.” Here are a few sample problems (Egorov,

1895):

• A factory employs 240 men and 160 women; another factory has

50 more men and 30 less women than the first. Which factory

has more workers in total?

• 5700 + 3800 + 1400.

[Solution: 6000

+ 4000 + 1000 − (300 + 200 − 400) =

11000

− 100 = 10900.]

• An office worker had saved 225 rubles of his salary in the first

year; in the second year he was able to save only 199 rubles, even

though his salary was increased by 174 rubles. By what amount

had his expenses increased in the second year?

The official elementary school curriculum of this period was marked

by a certain scarcity of mathematical content and the absence of theory

(Pchelko, 1977):

Counting up to and down from 100. Four operations with numbers

from 1 to 20. Introduction to digits and arithmetical notation.

Demonstration of the basic arithmetical concepts with illustrations.

Roman numeration up to XX.

Nevertheless, many substantive textbooks for elementary schools were

published at this time.

Overall, by the end of the 19th century and the beginning of the

20th century, the Russian school had amassed rich experience in teach-

ing elementary-level mathematics. The principle of “visualization” was

universally accepted. Each school had an “arithmetical box” and a

classroom abacus, and used tables for performing calculations with

one- and two-digit numbers. For the majority of students, elementary

education was completed in “two or three winters.” At this time,

education implied two objectives: the material, practical one, and the

formative, developmental one. The study of arithmetic was widely

thought to have a purely practical aim: students were taught such things

as could be useful in everyday activities. Nevertheless, many teachers

who “could not abide the ‘drilling’ associated with practical training”

(Shokhor-Trotsky, 1886) demanded that the students draw from their

education the full range of intellectual and spiritual experiences.

---

March 9, 2011

15:1

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch02

48