Russian Mathematics Education

2.4

Written Problem-Solving Contests

Optional problem-solving contests may be conducted in a class (or a

school). Of course, far from all students take part in such contests (let

alone successfully solve all problems), but all students in a class (or a

school) are invited to participate in them, and that is why we discuss

this activity in this section. Such contests are useful both in themselves

and as a means of drawing students into a mathematics circle (where,

for example, they will be told the solutions). Contest problems may

be given in wall newspapers, as already mentioned. They may be given

one or two at a time, for example as weekly assignments. Whatever the

case, they are usually given for a sufficiently long period of time and

thus presuppose that the participants have attained a certain degree of

maturity and responsibility. It must be pointed out, too, that students

are almost always unaccustomed to turning in work in which not all

problems have been solved (and usually even the winners do not solve

all of the problems). Consequently, it is very important to explain to

potential participants that they are in no way expected to solve all of

the problems.

In general, the psychological aspects of such contests usually require

a fair amount of attention. If a contest turns out to be too easy, then the

stronger students will not want to solve and hand in the problems; if it

turns out to be too difficult, then, on the contrary, no one except a very

small number of students will decide to participate in it. Consequently,

a certain balance is necessary. Likewise necessary is a balance between

comparatively traditional, “school-style” problems and problems with

interesting but unfamiliar formulations. The following problems, for

---

March 9, 2011

15:4

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch09

Extracurricular Work in Mathematics

383

example, were used in a contest for seventh graders (Karp, 1992,

pp. 10–11):

1. Solve the equation

|x − 1| + |x + 2| = 4. (This is a typical,

“difficult” school-style problem. The students have already ana-

lyzed absolute value problems, but even a single absolute value

in seventh grade made a problem difficult, while this problem

contains two of them. On the other hand, there is nothing

particularly unexpected here: carefully following the algorithm for

removing the absolute value sign, for example, will lead to the right

solution.)

2. Two squares, with sides 12 cm and 15 cm, overlap. Removing the

common part from each of the squares, we obtain two regions.

What is the difference of their areas equal to? (In this case, for

a person with a certain mathematical background, everything is

very straightforward: regardless of the area of overlap of the two

squares, the difference of the areas of the obtained regions is

equal to the difference of the areas of the squares. But far from

all students are capable of justifying this argument clearly and

correctly.)

3. A scary dragon has 19 heads. A brave knight has invented an

instrument that can chop off exactly 12, 14, 21, or 340 heads

at once, but after this the dragon grows 33, 1988, 0, or 4 new

heads, respectively. Once all of the heads have been chopped off,

no new heads will grow. Will the knight be able to slay the dragon?

(This is a typical, although not difficult, Olympiad-style problem:

the students must note that the number of heads always changes

by a multiple of three, and thus there is no way to pass from 19 —

a number not divisible by 3 — to 0.)