Russian Mathematics Education

Combinatorics, Probability, and Statistics in the Russian School Curriculum

249

total number of handshakes:

12

, 13, 14, 15, 16, 17, 18,

23

, 24, 25, 26, 27, 28,

34

, 35, 36, 37, 38,

45

, 46, 47, 48,

56

, 57, 58,

67

, 68,

78

.

Comparison of various methods of enumeration proposed by

different students in their approach to the same problem — including

image-based approaches, such as a “tree” of possible variants, either

sketched or imagined, as well as logical arguments — activates the

child’s imagination and logical thinking. When learning about the sys-

tematic method of enumeration, emphasis is given to choosing the

most rational coding strategy and the most convenient method of

enumeration.

The next step is familiarizing the students with the rule of product,

fundamental to the classical formulas of combinatorics: the formulas for

the number of permutations and combinations. This happens naturally

with the transition from problems with relatively few items, permitting

exhaustive enumeration, to problems with large numbers of variants,

where constructing a “tree” or using any other method of direct

enumeration proves technically inefficient.

Let us note that the general methodological goal lies in eliciting

the conceptual basis of the problem and finding an appropriate mathe-

matical model. This is necessary in order to avoid the typical pitfall

of the “formula-based” approach to combinatorics: the temptation

to “plug in” rules and formulas mechanically. To prevent students

from developing the incorrect stereotype, sets of problems using the

rule of product will typically include several problems where the

straightforward use of multiplication will not yield the correct answer.

This exposes the limits of the rule’s application and keeps mindless

formalization at bay. Here is an example of such a problem, analogous

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06

250

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

to the “handshake problem” (p. 258):

Sixteen players take part in a chess tournament. Every player will

meet every other player in a single match. How many matches will

be played overall?

When encountering this problem, students may reason as follows:

Each match involves two players. The first of these may be any one of

the 16 players; the second may be any one of the remaining 15. By

using the rule of product, as in several previous scenarios, we arrive

at the total number of matches: 16

· 15 = 240.

However, in this case, each of the matches was counted twice: once

counting all the matches played by the first player, and again counting

all the matches played by the second player (the teacher may use a

tournament table to illustrate this point). In reality, half the matches

were played:

16

·15

2

= 120.

The preparatory stage, where the material is presented at the visual

and qualitative level, is likewise the radically new addition to the Russian

teaching of probability in terms of both content and methodology.

At this stage (see Bunimovich, 2009; Tyurin et al., 2009), students

are encouraged to study and actively investigate stochastic situations

and processes. To this end, classes engage in group discussions

on various classroom exercises and experiments, and work together

on constructing probability models. The students must consciously

apply the results of the experiments to analysis and prediction. This

strengthens their motivation to understand not only the principles of

stochastics but also related concepts belonging to other branches of

mathematics (proportions, parts, fractions, percentages, graphs, areas

of geometrical figures, etc.).

New challenges arise when students encounter problems where

chances of such-and-such an event may not be determined with

precision but must be approximated, based on life experience, pre-

viously derived statistical data, or a series of experiments. Because the

probability of an event is contingent on the circumstances in which

it is examined, several answers offered in a class discussion may prove

correct — something that is unexpected and unfamiliar not only for

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06