Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

formulate the main ideas and applications of probability theory at a

level accessible to secondary school students. N. Ya. Vilenkin likewise

published several texts in combinatorial analysis (e.g. 1969), offering

in-depth analysis of an assortment of concrete problems varying in

difficulty. At the same time, a number of scholars published works

aimed at formulating the methodology for teaching the new course.

Some of the methodologists called for an independent course dedicated

strictly to the study of the principles of probability theory (e.g.

Gaisinskaya, 1972; Potapov, 1969; Veliev, 1972), while others argued

for a combined combinatorics–probability curriculum (Dograshvili,

1976; Kabekhova, 1971; Samigulina, 1969).

The majority of proposals leaned heavily toward probability, with

very limited space given to the elements of statistics. At the same

time, the initiative for integrating probability theory and statistics into

the secondary school curriculum was actively promoted not only by

scholars and teachers of mathematics but also by physicists, chemists,

and biologists. The need for a preparatory course in probability and

statistics in the secondary school was also discussed at the college

level. In a discussion on “equally likely events,” E. S. Venttsel, author

of one of the most popular college textbooks on probability theory,

spoke about “events, not reducible to a system of chance occurrences,”

stressing that “all of these techniques are grounded in experiment, and

in order to master them one must first learn about frequency of event

and grasp the organic connection between probability and frequency”

(multiple editions, e.g. 1998, p. 9). The author noted that college

students have a difficult time absorbing the principles of probability

and statistics without preparatory work at the secondary school level.

Despite all this, a course in probability was not included in the final-

ized version of the secondary school curriculum. A. N. Kolmogorov

(1968), the founding father of Russian probability and mathematical

statistics, expressed his regret in the following words: “Unfortunately,

no positive solution could be found to the problem of integrating

elements of probability theory into the secondary school curriculum”

(p. 22). Pilot programs had shown overwhelmingly that teachers

of mathematics and the school system as a whole were unprepared

to take on the new and unfamiliar subject. It should be noted,

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06

Combinatorics, Probability, and Statistics in the Russian School Curriculum

237

however, that arguments of this sort are always valid, and always

stand in the way of genuine reform. At the same time, it must be

acknowledged that the failure of this particular reform was due in large

part to the emphasis by pilot programs on a theory-heavy approach

to probability, i.e. the classical a priori approach to the notion of

probability of a random event, at the expense of practical application

and interdisciplinary implications. As a result, probability theory was

almost completely cut off from mathematical statistics, the latter being

entirely omitted from the course. In the experimental textbook for

the ninth grade edited by Kolmogorov, the section on probability

theory followed directly after — and elaborated upon — the section

on combinatorics. Consequently, the two sections made up a peculiar

fragment, disconnected from other topics in the course and from

other subjects in the curriculum, thus failing to attract the interest

of practically minded 15- and 16-year-old students and their teachers.

Regrettably, the attenuated approach of Kolmogorov’s textbook had

little in common with the methodologies elaborated by the master

pedagogue in his writings, and did much to discredit the very idea of

integrating probability into secondary school curricula.

As a result, combinatorics and elements of probability theory

were cast out to the educational periphery, i.e. high school electives

or courses in schools that specialized in mathematics, where these

subjects were taught at the very end of the final year. Here, too,

they suffered from the theory-heavy approach: rather than seeking

a deep and intricate understanding of the probability of a random

event or honing their skills in mathematical modeling, students in

specialized physics and mathematics schools were asked to solve

complex probability problems by virtue of increasingly complicated

combinatorial analysis, a rapid and formal shift toward conditional

probability, and Bernoulli’s formula. Moreover, the foundations of

probability were taught with no reference to mathematical statistics.

Finally, the isolated and strictly theoretical fragment that comprised the

elements of probability theory never became a full-fledged component

of the curriculum, even in specialized schools, as evidenced by a nearly

total absence of probability-related problems on final examinations in

classes with an advanced course of study in mathematics.

---

March 9, 2011

15:3

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch06

238