Роль механики в подготовке будущего инженера-механика. Основные этапы развития механики

. Определение модуля и направления кориолисова ускорения


_{ } (24)

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

_{ }(25)
Если_{ }то
_{ }(26)

Для определения направления вектора кориолисоваускорения _{ }надоспроектировать вектор _{ } относительной скорости точки _{ }на плоскость,перпендикулярную вектору _{ }(оси переносного вращения), и полученную проекциюповернуть в сторону этого вращения на _{ }.Полученное таким образомнаправление совпадает с направлением вектора _{ }(рис. 2, 3 и 4).Если точка _{ } движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору _{ }, то _{ } и формула (26) становится такой

_{ } (27)

Рис. 3. К определению направления вектор кориолисоваускорения при движении точки в пространстве

Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1. _{ }- переносное движение поступательно или когда в данный момент _{ }
2. _{ } - относительная скорость в данный момент равна нулю.
3. Когда _{ } или_{ }, то есть когда вектор _{ } параллелен вектору _{ }.
А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров и кориолисово ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно выполняет функции замедления (рис. 4). Вариации возможных сочетаний направления вектров переносной и относительной скоростей материальной точки, движущейся вдоль вращающегося стержня, представлены на рис. 4.



Рис. 4. Примеры определения направления векторов_{ }и для точки _{ }
Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых



Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:



Ускорение кориолиса


Ускорение Кориолиса   можно получить, спроецировав вектор относительной скорости точки   на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости  , увеличив полученную проекцию в   раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.
Способы вычисления ускорения Кориолиса:
1. По правилу векторного произведения (рис. 3) 
.
Теорема_кориолиса

Пусть точка совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта  со скоростью   ; система  при этом сама движется относительно инерциальной системы координат   , причём линейная скорость движущегося вместе с ней полюса  равна  , а угловая скорость системы  равна   .
Тогда абсолютная скорость рассматриваемой точки (то есть её линейная скорость в инерциальной системе координат) будет такой:
, причём  ,
где   — радиус-вектор точки относительно полюса   . Первые два слагаемых в правой части равенства представляют собойпереносную скорость точки, а последнее — её относительную скорость.
Продифференцируем это равенство по времени:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:



где   — линейное ускорение точки относительно системы  ,  — угловое ускорение системы   .
Таким образом, имеем:

Полученное равенство служит математическим выражениемтеоремыКориолиса: Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме её переносного ускорения (сумма первых трёх слагаемых в правой части),относительного ускорения (четвёртое слагаемое) и добавочного кориолисова ускорения (последнее слагаемое), равного  .
Используя обозначения  и  , получим запись теоремы Кориолиса в более сжатом виде:

Причиной возникновения кориолисова ускорения является взаимное влияние друг на друга переносного и относительного движений.
Сам Кориолис выражал в 1835 г. свои результаты в иной форме, вводя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции; общепринятая же ныне чисто кинематическая формулировка теоремы Кориолиса предложена в 1862 г. Анри ЭмеРезалем^[12].
Заметим, что если система  также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины   ,   для системы  в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а   — абсолютным ускорением поступательного движения  относительно неподвижной инерциальной системы координат.
Заметим также, что в частности, чтобы точка относительно неинерциальной системы отсчёта двигалась прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к ней силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовойсилы   , переносной вращательной силы   и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчёта   . Составляющая же ускорения   не отклонит тело от этой прямой, так как являетсяосестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нём вышеупомянутых сил получится уравнение  , которое если умножить векторно на  , то с учетом   получим относительно  дифференциальное уравнение  , имеющее при любых   и   общим решением  , которое и является уравнением такой прямой —   .