Роль дифференциальных уравнений в углубленном профиле математики в 10-11 классах в основу разработки нового фгос соо положена целевая установка, предусматривающая переход от «догоняющей»

Роль дифференциальных уравнений в углубленном профиле математики в 10-11 классах В основу разработки нового ФГОС СОО положена целевая установка, предусматривающая переход от «догоняющей» к «опережающей» модели развития российского образования, предполагающая отказ от прямого копирования западных моделей образования. Одной из особенностей нового стандарта является  принцип образования, создающий индивидуальные траектории для каждого обучающегося.  Итак, новым ФГОС для 10-11 классов определен профильный характер обучения. В свете этого, в общеобразовательных учреждениях появляются индивидуальные образовательные траектории физико-математического профиля. Что делает вопрос наполненности и согласованности программ по алгебре острым.

Раздел дифференциальных уравнений является одним из самых больших элементов теории современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных секторов математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.
Воспринимая математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую модель (некую идеализированную форму), то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошных сред, химических реакций, физических явлений и процессов.
Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и пограничных условий, исследователь получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.
Область применения дифференциальных уравнений для решения практических задач физики, химии, астрономии, экономики, медицины обширна. Применение теоретических знаний на практике, практикоориентированное образование, разносторонне развитые личности на пороге окончания школы, обладающие системными, фундаментальными знаниями – это основная цель образования по ФГОС. В классах с углубленным изучением естественных наук уделяется много учебных часов успешному освоению теории и практики, что невозможно без грамотного и полного математического языка. Дифференциальные уравнения дают возможность решать различные задачи, в том числе и задачи на оптимизацию. И хотя, в школьном курсе математики, в профильных физико-математических классах, дифференциальные уравнения изучаются в общих чертах, но важность их изучения отрицать не стоит, так как, в дальнейшем обучении по профилю, выпускники получают возможность более успешно осваивать этот раздел высшей математики в обучении.

Одним из стержневых вопросов в школьном курсе математики является изучение уравнений. Уравнения широко применяются как в самой математике (при решении геометрических и алгебраических задач, при решении текстовых задач), так и в физике, биологии, химии, вычислительной технике, экономике, радиотехнике и других областях. Основным способом, с помощью которого математика применяется в производстве, является составление уравнения задачи; без уравнений нет математики как способа познания природы".

Изучение практики преподавания математики показывает, что в знаниях большинства учеников, всё ещё есть существенный недостаток: непрочная связь общего с конкретным, неумение в полной мере распорядиться знаниями при рассмотрении основных фактов изучения курса алгебры и математического анализа. Главной причиной этого является недостаточное внимание к формированию обобщенных знаний об уравнениях. Формирование знаний является целью и средством обучения, воспитания и развития учащихся. Овладение приемами является одним из необходимых условий успешного обучения и применения знаний.

Изучение уравнений в курсе алгебры и математического анализа средней школы занимает ведущее место не только по содержанию, но и по приемам и способам решения, они используются в процессе решения огромного числа задач теоретического и прикладного характера.

Научить в школе решению всех уравнений, которые могут встретиться, невозможно. Но, можно научить учащихся подходам к решению задач, которые связаны с необходимостью владения общими правилами и приемами. Поэтому, овладение общими подходами к изучению теории и решению задач является неотъемлемым условием творческой работы в любой деятельности учащихся. Следовательно, теоретическое обобщение при изучении математических знаний должно занимать важное место.
По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно ясной в последнем классе.
До недавнего времени дифференциальные уравнения не входили в программу математики средней школы, и это делало содержательно-методическую линию уравнений незавершенной.
Теория дифференциальных уравнений, начиная со своего возникновения, развивалась в неразрывной связи с физикой, механикой и математическими проблемами техники.
Введение в содержание математического образования сведений о дифференциальных уравнениях играет большую роль в формировании научного мировоззрения учащихся, в прикладной направленности обучения математике, в реализации межпредметных связей, которые содействуют пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в познании и практике.
Изучение темы "Дифференциальные уравнения" расширяет понятие об уравнениях. Для того, чтобы учащиеся понимали общность дифференциальных и ранее изученных уравнении (алгебраических и трансцендентных) ,целесообразно соблюдать преемственность в изложении этих тем.
Преемственность математического образования - понятие многоплановое. Оно связано с реализацией внутрипредметных связей, трактовкой основных понятий, последовательностью изложения учебного материала, уровнями возрастания его сложности и трудности и т. д.
Были изучены вопросы непрерывного образования, вопросы преемственности обучения математике, внутри и межпредметных связей.
Противоречие между объективной потребностью преемственности обучения математике в школе и ее фактическим отсутствием, когда преподавание на разных этапах обучения ведется практически независимо друг от друга, выявило проблему данного исследования и определило ее актуальность.
Дифференциальные уравнения - завершающий этап развития методической линии уравнений в школе. К сожалению, не во всех УМК по алгебре даже в профильных физико-математических классах этот раздел уравнений присутствует. Так в чём же его значимость? В процессе преподавания в профильных классах, учителя естественно - научного профиля сталкиваются с затруднениями в освоении теоретического материала учениками. Одной из причин является неполное освоение курса уравнений в курсе математики. В частности, отсутствие дифференциальных уравнений, делает теоретический раздел алгебры, посвященный производным и первообразной, незавершенным. Тем самым нарушается преемственность между методической линией алгебры в школе в среднеспециальных и высших учебных заведениях. Образуется разрыв программы. Более того, отсутствие хотя бы простейших понятийных знаний об дифференциальных уравнениях, умение решать элементарные из них мешает освоению теоретического и практического материала в физике, химии, экономике. Рассмотрим простой пример. В первом полугодии ученики 10 класса физико-математического профиля (как в прочем и базового, социально-гуманитарного, и химико-биологического) начинают изучать раздел физики «Механика». В этом разделе особую роль отводят понятию «мгновение»: мгновенная скорость, мгновенное ускорение. Это величины характеризующие скорость изменения координаты, или скорость изменения быстроты изменения координаты в отрезке времени, стремящемся к нулю. Можно упрощенно объяснить суть этих понятий на примере бесконечно малой убывающей хорды, стягивающей бесконечно малую убывающую дугу. Но, знание одного понятия не даёт возможности ученику успешно решать практические задачи, ввиду отсутствия очень важного математического инструмента – умения видеть, анализировать, составлять и решать дифференциальные уравнения. Важно так же уметь проанализировать полученный результат. Итог – учитель предметник наряду с объяснением физики, читает курс математики, чтобы подготовить учащихся к успешному восприятию и пониманию содержания учебного материала.
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. На пример, законы механики Ньютона, позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела, свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений. Современное занятие в образовании - это время, когда дети сами ищут, спорят, сопоставляют, обобщают, делают выводы. Одним словом, активно участвуют в обсуждении того, что и как происходит в процессе решения практикоориентированных задач. Введение задач на решение дифференциальных уравнений решает огромный круг задач в образовании.
Образуется преемственность и сохраняется системность в образовании на этапе окончания школы и поступления в высшие и среднеспециальные учреждения образования. Ведь не секрет, что зачастую студенты первого курса технических ВУЗов испытывают значительные сложности в освоении программы по дисциплинам связанным с высшей математикой и решением прикладных задач физики, химии, биологии, статистики, экономики, астрономии. Провал образуется из-за нарушения преемственности в изучении теоретического материала программы алгебры в 10-11 классах. Зачастую изучение производной, дифференциала, графика производной – это, то немногое на чем начинается и заканчивается изучение данного раздела в школе. Такой «обрыв» методической линии сам по себе пагубен. Тем более существует еще одна проблема. Физика профильного уровня в 10-11 классах предполагает, как должное, что для освоения учебного материала программы ученик должен владеть совершенным математическим языком и аппаратом для решения разных функциональных задач. С самого первого раздела 10 класса «Кинематика» подразумевается владение понятием и уверенное применение производных для нахождения мгновенных кинематических величин, нахождение максимумов и минимумов функций.
Естественно, необходимо умение решать хотя бы простейшие дифференциальные уравнения. Несовпадение во времени прохождения смежных и согласующихся тем приводят к тому, что учащимся сложно усвоить учебный материал по физике или химии, а позднее прохождение этих тем в алгебре, лишает учащихся решения интересных практических задач, так как к тому времени по смежным предметам изучение соприкасающихся тем уже закончено. В целом те учебно - методические комплексы, о которых говорилось выше, способны ликвидировать содержательный разрыв в методической линии по решению уравнений в школьном курсе математики начиная с самых простейших, заканчивая функциональными уравнениями. Однако, открыт вопрос о добровольном выборе УМК каждой школой в условиях постоянно меняющихся списков рекомендованных учебников, ведь смена УМК в старшем звене, ведет к смене учебников по всей вертикали, а это не дешево. В условиях, когда в школе есть деление на профили, вопрос обеспечения соответствующими профильной направленности учебниками всех серьезно усложняется.