Rn фазода векторлар устида чизиқли амаллар. Векторларнинг чизиқли боғлиқлиги

^)  c^  a^  c^ 

 _
b  c

(тақсимот хоссаси);

     

3⁰.   (a  b)  ( a)  b  a ( b) ( сонга нисбатан груп-палаш хоссаси);

  

4⁰.
a a  0 , бунда тенглик белгиси фақат a  0
бўлганда ўринлидир.

 

(5) муносабатга асосан a  b
бўлса,

 
a a  x  x  x  x
 ...x x
 x ²  x ²  ...  x ²

бўлади.

1 1 2 2 n n 1 2 n


 _
а векторнинг узунлиги деб _{a  }

сонни айтамиз. Векторнинг узунлиги ушбу формула билан аниқланади.


a  (6)


(4) формуладан a


ва b

векторлар орасидаги бурчак

сos 
 
a b


(7)


^{формула билан аниқланади. Иккита} a

ва b
векторнинг скаляр кўпайтмаси нолга тенг, яъни

^{ }   

a b  0 бўлса, бу векторлар ортогонал деб аталади. e ₁, e ₂ ,... e _n
векторлар ортонормаланган базис

ташкил қилади. Ҳақиқатан,

^{ } ^0,
агар i  j
булса,

^е i ^{ е} j ^ _

_1,

агар i  j
булса.

^А(х1^{, х}2^{,... х}n^{) ва В(у}1^{, у}2^,…,уn^{) нуқталарни туташтирувчи АB вектор сифатида уч ўлчовли фазодаги
каби АB =(у}1^-х1^{; у}2^-х2^{; ...; у}n^-хn^{;) векторни тушунамиз. Бунда А нуқтани АB векторнинг боши, В}
нуқтани эса унинг охири деб атаймиз. Агар векторнинг боши О(0; 0;...;0) координаталар боши


^{билан охири эса М (х}1^{, х}2^,...хn^{) нуқта билан устма-уст тушадиган бўлса, у ҳолда ОМ  (х1, х 2 ,..., хn )}

векторни М нуқтанинг радиус-вектори деб аталади. Унинг координаталари М нуқтанинг мос координаталари билан бир хил бўлади. Иккала А ва В нуқта орасидаги масофа d деб, бу нуқталарни
туташтирувчи АB векторнинг модулини айтамиз.
(6) формулага асосан қуйидагига эгамиз:


d  AB 

(8)


^{2-Мисол.} a  (7,
2,  8),

b  (11,  8,
 7)
векторлар орасидаги бурчак топилсин.

cos  
Ечилиши: (7) формуладан қуйидагини топамиз:


 

  ² ;
2
  45⁰.

3. Кесмани берилган нисбатда бўлиш.


М₁М ₂ кесмани берилган >0 нисбатда бўлиш деган сўз, бу кесмада ушбу тенглик ўринли бўладиган

М нуқтани топиш демакдир:


М₁М _{ }

  (9)


^ММ 2
ёки
^{М1М   ММ} 2

^{фазода М}1^(х1^{, у}1^{, z}1^{), М}2^(х2^{, у}2^{, z}2^{) нуқталар берилган бўлсин. Изланаётган М (х, у, z) нуқтанинг} координаталарини топамиз.

   

M₁M  (х  х₁ ) i  ( y  y₁ ) j  (z  z₁ ) k ,
(10)

   
^MM 2 ^{(х2  х ) i  ( y2  y) j  (z2  z) k}
(10)ни (9)га қўямиз.

     

(х  х₁ ) i  ( y  y₁ ) j  (z  z₁ ) k  [(x₂  x) i  ( y₂  y) j  (z₂  z) k ]

Векторларнинг тенглигидан уларнинг проекцияларининг тенглиги келиб чиқади:

х  х₁  (х₂  х),
у  у₁  ( у₂  у),
z  z₁  (z₂  z)

^{Бу ердан} x  ^{x1  x2} ,
1  
_{y } y₁  y_{2 ,}
1  
_{z } z₁  z₂
1  

(11)

^{Агар М нуқта М}1^М2 ^{кесманинг ўртаси бўлса у ҳолда М}1^М=ММ2 ^{ва демак, =1. Бу ҳолда (11)} тенгликлар ушбу кўринишни олади:

_{х } х₁  х_{2 ,}

2

_{у } у₁  у_{2 ,}

2

_{z } z₁  z_{2 ,}

2

(12)

3. 
   Мисол. Учлари А(-2,1), В(2,-1), С(4,3) нуқталарда бўлган учбурчакнинг оғирлик марказининг координаталари топилсин.
   

Ечилиши. Учбурчакнинг оғирлик маркази унинг медианалари кесишган нуқтада бўлади.
Медианалари кесишган нуқтаси уни 1:2 нисбатда бўлиши маълум.
Учбурчакнинг С учидан АВ томонга ўтказилган медиа-наси АВ нинг ўртасидаги нуқтада кесишади. Бу нуқтани D(х;у) билан белгилаймиз ва D нинг координаталарини (12) формулага

асосан топамиз:
_{х } х₁  х₂

2

_  2  2 _{ 0,}
2
_{у } у₁  у₂

2

_ 1  1 _{ 0}
2

Демак, D координаталар бошида ётар экан. Энди учбурчакнинг огирлик марказини топамиз.
Қаралаётган мисолда
^x1^{=0, у}1^{=0 (D нуқтанинг координаталари)
x}2^{=4, у}2^{=3 (С нуқтанинг координаталари)}
  ¹
2
Шунинг учун (11) формулага кўра оғирлик марказининг координаталари қуйидагига тенг:
0  ¹  4
_{х } ^х₁ ^{ х}_{2 2 } 2  2 _ 1

1  
1 .
_{1 } ¹ 3 3
2

_{у } у₁  у₂
0  ¹  3
^2  ³  1.

1  
1  ^{1 3}
2

Демак, оғирлик маркази (1 ¹ ;1) нуқтада экан.

3

Текисликда тўғри чизиқ

1. 
   Тўғри чизиқнинг нормал вектори. Берилган нуқтадан ўтувчи, берилган векторга перпендикуляр тўғри чизиқ тенгламаси
   

Оху текисликда ихтиёрий  тўғри чизиқни қараймиз (1-расм). Қаралаётган тўғри чизиқнинг

^ 

^{бирорта М(х}1^,y1^{) нуқтаси ва унга перпендикуляр бўлган N  Ai  В j вектор берилган бўлсин. Бу}

^{вектор тўғри чизиқнинг нормал вектори дейилади. М}1 ^{нуқта ва N нормал вектор  тўғри} чизиқнинг ОХУ текисликдаги ҳолатини тўла аниқлайди.



Айтайлик, М( х; у ) нуқта  тўғри чизиқнинг ихтиё-рий нуқтаси бўлсин. Шартга кўра N
^  
^{вектор шу тўғри чизиқда ётган}  (x  x )i  ( y  y ) j ^{векторга перпен-дикуляр. Шунинг учун
M}1^M 1 1
бу векторларнинг скаляр кўпайтмаси нолга тенг:
 ^

N  M₁M
 0, A(x  x₁ )  B( y  y₁ )  0
(1)

 ^{тўғри чизиқнинг ихтиёрий М( х; у ) нуқтасининг коорди-наталари ҳосил қилинган тенгламани қаноатлантиради. Агар ОХУ текисликнинг М}2^{( х}2^{; у}2 ^{) нуқтаси  тўғри чизиқда ётмаса, унинг}

координаталари (1) тенгламани қаноатлан- тирмайди, чунки бу ҳолда
 _ ^
 0 ^.

1-расм
N M₁ M ₂

N
Шундай қилиб, (1)тенглама тўғри чизиқнинг тенгламаси экан. У берилган нуқтадан ўтувчи, берилган векторга перпен-дикуляр тўғри чизиқ тенгламаси дейилади.

^{Мисол М}1^{(-1; 3) нуқтадан ўтувчи ва} тенгламасини топинг.
^  2 i^  5 ^j ^{векторга перпендикуляр тўғри чизиқ}

^{Ечилиши: Бу ҳолда А=2, В=-5, х}1^{=-1, у}1⁼³

1. формулага асосан 2(х+1)-5(у-3)=0 ёки 2х-5у+17=0 ни ҳосил қиламиз.

2. Тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси.

Аввалги пунктда ОХУ текисликда ётувчи ихтиёрий  тўғри чизиқнинг тенгламаси (Декарт координаталар системасида) (1) кўринишда бўлиши, яъни х ва у координаталарга нисбатан биринчи даражали тенглама бўлиши кўрсатилган эди.
Аксинча, х ва у координаталарга нисбатан исталган биринчи даражали
Ах+Ву+С=0 (2)
тенглама ОХУ текисликда ётувчи бирорта тўғри чизиқнинг тенгламаси эканлигини кўрсатайлик. Ҳақиқатан, (2) тенгламада А ва В коэффициентлар бир вақтда нолга тенг эмас деймиз. Масалан, В
 0 бўлсин. У ҳолда бу тенглама

А(х-0)+В(у+ ^C )  0
B

^  
тенгламага тенг кучли. Бироқ бу тенглама (0;- ^C ₎ нуқтадан ўтувчи
B
N  A i  B j


(3)


векторга

перпендикуляр тўғри чизиқ тенгламасидир. Демак, (2) тенглама бу тўғри чизиқнинг тенгламасидир.

2. 
   кўринишдаги тенглама тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси дейилади. Унинг А ва В коэффициент-лари мос равишда берилган тўғри чизиқ нормал векторнинг координаталар ўқидаги проекцияларига тенг. Агар Ах+Ву=0 кўринишга эга ва уни х=0, у=0 координаталар боши қаноатлантиради. Бундай ҳолда тўғри чизиқ координаталар бошидан ўтади. у=0 тенглама ох ўқини
   


тенгламаси эканлиги-ни кўриш осон, чунки буни координаталар бошининг координаталари
қаноатлантиради, нормал вектор N  ^j . Шунга ўхшаш, ОУ ўқнинг тенгламаси х=0 кўринишда
бўлади.

3.