|
n:=0; x:=x0;
2: fx:=x*x-x-1;
f1x:=2*x-1;
y:=fx/f1x;
n:=n+1;
x:=x-y; textcolor(13);
if abs(y)>eps then goto 2;
writeln(‘yaqinlashishlar soni n=’ ,n);
writeln(‘taqribiy ildiz x=’ ,x:3:4);
end.
Ushbu dasturni kompyuterga kiritib natijalar olinganda x2-x-1=0 tenglamaning x0=b=2,5 boshlangich nuqtadagi va =0,0001 aniqlikdagi ildizi х=1,6180 ekanligiga eshonch hosil qilish mumkin. Buni esa berilgan chizmadan ham ko’rish mumkin.
f(x)=0 tenglamadan matematik almashtirishlar yordamida x=ϕ(x) shaklidagi ekvivalent tenglamani hosil qilamiz. Tenglamaning x* ildiziga x0 boshlang'ich qiymat beramiz. Uni (5) tenglamaning o'ng tomoniga qo'yib, birinchi yaqinlashuvni olamiz x1 = ϕ(x0 ), shu usul bilan navbatdagi yaqinlashishlarga o`tamiz x2=ϕ(x1 ) va hokazo: xk=ϕ(xk-1 ) . Ushbu iteratsiya jarayon qanday sharoitlarda transsendent tenglamaning x* ildiziga yaqinlashadi degan savol tug'iladi. Batafsil matematik tahlil shuni ko'rsatadiki, oddiy iteratsiya usulining yaqinlashishi uchun zarur bo'lgan shart quyidagicha yoziladi: ϕ '(x) <1
f(x)=0 tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ixtiyoriy b songa ko'paytiramiz va noma'lum x ni ikkala tomonga qo'shamiz. Natihada berilgan tenglama quyidagi ko`rinishni oladi: x+b⋅f(x)=x+0⋅b. D(x)=x+b⋅f(x) belgilashni kiritamiz. b sonni tanlash orqali yaqinlashish shartini bajarish mumkin. −1<ϕ'(x)<0 shart bajarilsa, takrorolash jarayonining yaqinlashuvi ikki tomonlama bo’ladi.
Yuqorida berilgan tenglamani Excel dasturi yordamida yechamiz. Buning uchun А2 katakka x argumentning boshlahg’ich qiymatini 𝑥0 = −0,5 + 0 /2 deb olamiz. А3 katakka х argumentning х1 qiymatini = sin 𝐹2 2 − 1 /2 ko`rinishda kiritamiz va А ustunning qolgan kataklariga ushbu formulani nusxa qilamiz. В3 katakka =abs(B3-B3) formulani kiritamiz va
B ustunning qolgan kataklariga ushbu formulani nusxa qilamiz. C3 katakka =ЕСЛИ(RC[-1]<0.001;”masala 0.001 anqlikda yechiladi”)formulani kiritamiz va ustunni qolgan kataklariga ushbu formulani nusxa qilamiz.Natijada Excel dasturi oynasi quyidagi korinishga ega bo’ladi:
Jadvaldan ko’rinadiki, 7- qadamdan keyin berilgan tenglamaning yechimi 0,001 aniqlikda topiladi va uning qiymati A9 katakda - 0,4178532 ga teng bo`ladi.
Yuqoridagi tenglamani yechishni Mathcad dasturida qaraymiz. Buning uchun Mathcad dasturini yuklab, boshlang’ich qiymatni kiritamiz: x:=-0.25 Ikkinchi qatorga Given kalit so’zi yozilib, uchinchi qatorga quyidagi mantiqiy ifoda yoziladi: 2*x+1- sin(x2 )═0 Bunda “═” belgisi qalin shriftda yozilib, mantiqiy ifodani bildiradi va chap tomondagi ifodaning 0 ga tengligini tekshiradi. Bu belgini kiritish “Boolean” vositalar paneli
yordamida yoki “ctrl+=” tugmalar majmui orqali bajariladi. Navbatdagi qatorga Find(x)= ifodasi yoziladi. Bunda “=” belgisi oddiy shriftda yoziladi va bu belgidan keyin natija xosil bo’ladi. Quyida Mathcad dasturida masalaning yechilishi berilgan:
Berilgan masalani yechishning С++tilidagi dasturi quyidagi ko’rinishga ega:
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
float a,b,x1,x0,delta,eps;
int n;
cout<<”Oraliq boshi a ni kiriting”<cin>>a;
cout<<”Oraliq oxiri b ni kiriting”<cin>>b;
cout<<”Tenglama ildizini aniqlash aniqligi eps ni kiriting”<cin>>eps;
x0=(a+b)/2; n=0;
do
{ x1=0.5*(sin(x0*x0)-1);
n=n+1
delta=fabs(x1-x0);
x0=x1;
}
while( deltacout<<”Tenglama ildizi = “<< x1<cout<<”Takroorlanishlar soni =”<< n<}
Bu usullar o`zlarining umumlashgani, tenglamani yetarli aniqlikda yecha olishi bilan ajralib turadi. Shuning uchun chiziqsiz tenglamalarni yechishning sonli-taqribiy usullari uchun dastur ta’minotlarini yaratilishi muhim va aktual masala hisoblanadi. Chiziqsiz tenglamalardan na’munalar: 1. 8x3-7x2 +3x-6=0 2. 11x2 -sin x =0 3. ln |7x|-cos 6x=0 4.e8x-13x=0 2. Chiziqsiz tenglamalarni yechishning geometrik ma’nosi. Chiziqsiz tenglamalarni sonli-taqribiy usullar bilan yechishni tashkil qilish uchun tenglamaning nechta yechimi mavjud ekanligi yoki umuman yechimi yo’qligi haqida ma’lumotga ega bo’lishimiz kerak. Bundan tashqari, tenglamaning yagona yechimi yotgan oraliqni ham aniqlashga to’g’ri keladi. Buning uchun berilgan tenglamani yechishning grafik usulidan foydalanamiz. Bizga quyidagi umumiy holda yozilgan chiziqsiz tenglama berilgan bo’lsin:
f(x)=0
Tenglamaning y=f(x) funksiyasini grafigini OXY dekart koordinatalar sistemasida ko’ramiz. Funksiya grafigining OX o’qini kesib o’tgan xechim nuqtasi tenglamaning qidirilayotgan yechimi hisoblanadi. yechim joylashgan oraliqni funksiyani ishorasini almashtirish shartidan foydalanib aniqlash mumkin: f(a) f(b)<0 Shunday qilib, tenglamaning yechimi yotgan oraliq va uning qiymati haqida yetarli ma’lumotga ega bo’ldik. 3. Chiziqsiz tenglamalarni yechish usullari haqida qisqacha ma’lumotlar. Yuqorida eslatganimizdek chiziqsiz tenglamalarni ularni qaysi tipga tegishliligiga qarab yechimni analitik, ya’ni formula ko’rinishda aniqlash mumkin. Lekin, ko’pincha chiziqsiz tenglamani analitik yechimlarini formulalar yordamida aniqlash imkoniyati bo’lmaydi. Shuning uchun ixtiyoriy chiziqsiz tenglamani yechishning EHMdan foydalanishga mo’ljallangan sonli-taqribiy usullariga e’tibor kuchayib bormoqda.
Hulosa
Algebraik va transtendent tenglamalarni taqribiy yechish usullarini yaqinlashish tezligi bo’yicha baxolashda kesmani ikkiga bulish usuli,Vatarlar usuli va iteratsiya usuli,urinmalar usullarini o’rganib chiqdim. f(x)=0 tenglamadan matematik almashtirishlar yordamida x=ϕ(x) shaklidagi ekvivalent tenglamani hosil qilishni. Tenglamaning x* ildiziga x0 boshlang'ich qiymat berishni. Uni (5) tenglamaning o'ng tomoniga qo'yib, birinchi yaqinlashuvni olamiz x1 = ϕ(x0 ), shu usul bilan navbatdagi yaqinlashishlarga o`tib x2=ϕ(x1 ) va hokazo: xk=ϕ(xk-1 ) larni hisobladim.
Foydalanilgan adabiyotlar.
Т. To'rayev. Matematikmantiqvadiskretmatematika. Т., « 0 ‘qituvchi»,
М. A. Sobirov. Matematik fanlardan ruscha-o‘zbekcha lug‘at. Т.,
« 0 ‘qituvchi»,
С. В. Яблонский. Введение в дискретную математику. М., «Наука»,
И.П. Нотансон. Теория функцй вещественной переменной. М.,
«Наука»,
Do'stlaringiz bilan baham: |
