Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.
xossa. Agar
a0 , a1, a2 ,..., an ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
fa (x) va holda
b0 ,b1,b2 ,...,bn ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
a0 b0 , a1 b1, a2 b2 ,..., an bn ,...
fb (x)
bo‘lsa, u
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x) fa (x) fb (x)
bo‘ladi.
xossa. Agar
a0 , a1, a2 ,..., an ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
fa (x) va
b0 ,b1,b2 ,...,bn ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
n
fb (x)
bo‘lsa, u
holda elementlari
dn aibn i
i 0
( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat bo‘lgan
d0 , d1, d2 ,...,dn ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x) fa (x) fb (x)
bo‘ladi.
Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.
3-m i s o l . Ushbu
0,1,2,3,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)
x
(1 x)2
bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikka kxk
k 0
ko‘rinishdagi darajali
qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalini xk
k 0
qatorga
qo‘llab va
x 1
bo‘lgan hol uchun o‘rinli
k 0
xk 1
1 x
tenglikni hisobga olib,
quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
kxk xkxk1 x
d xk
k 0 k 0
x d xk x d
k 0 dx
1 x .
dx
2
k 0
dx 1 x (1 x)
Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.
xossa. Agar
a0 , a1, a2 ,..., an ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
fa (x)
bo‘lsa, u holda elementlari
bn (n 1)an1
( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat
b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x) dfa (x)
bo‘ladi.
0 1 2 n
b dx
misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Hosil qiluvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra izlanayotgan funksiya (1 k) xk
k 0
darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma-
ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
1,1,...,1,... va
0,1,2,3,...
ketma-ketliklarning hosil
qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:
(1 k)xk
xk
kxk 1 x 1 x x 1 .
k 0
k 0
k 0
1 x
(1 x)2
(1 x)2
(1 x)2
Demak, bo‘ladi.
1,2,3,4,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi
f (x)
1
(1 x)2
Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz.
misol. Berilgan chekli, butun va manfiymas s son uchun hadlari
Cn, 0 n s,
a s
formula asosida aniqlangan
a , a , a ,..., a ,...
sonlar ketma-
0,
s n,
0 1 2 n
ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda
Cn
s! n!(s n)!
– binomial koeffitsientlar. Bu
s
sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Nyuton binomi formulasiga ko‘ra
s
a xn Cnxn (1 x)s
n
n0
s
n0
munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun
s 0
son uchun
C0, C1, C2,..., Cs,0,0,...,0,...
ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi
s s s s
funksiyasi
f (x) (1 x)s
ko‘rinishga egadir.
Yuqorida, aniqrog‘i, ushbu bobning 3- paragrafida binomial koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi.
1-teorema. Ixtiyoriy natural m , n va tenglik o‘rinlidir:
k m n
sonlar uchun quyidagi
min(k ,n)
Ci Ck i Ck .
n m i max(0,k m)
n m
Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin
u0 0
sonni qo‘yib,
u0 0, u1 1, un un2 un1, n 2 ,
ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) qiluvchi funksiyani topamiz.
u(x)
hosil
Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
u( x) u xk x u xk x ( u
k
k 0
k
k 2
k 2 k 1
k 2
x u xk u xk x x2u xs xu
xp
k 2
k 2
k 1
k 2
s
s 0
p
p 0
x x2u(x) xu(x) .
Endi hosil bo‘lgan tenglama deb qarab,
u(x) x x2u(x) xu(x)
tenglikni
u(x)
funksiyaga nisbatan
u0 0, u1 1, un un2 un1, n 2 ,
ketma-ketlikning u(x)
x
1 x x2
hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.
teorema. Fibonachchi soni un ( n 0,1,2,... ) uchun
1
5 n
1
5 n
un
2
2
tenglik o‘rinlidir.
Endi qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan
R(0), R(1), R(2), R(3),..., R(n),...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan
r(x) R(n)xn 1 x 2x2 3x3 5x4 7x5 12x6 ...
n0
darajali qatorni qaraymiz.
L. Eyler uchun tekshirib,
(1 x)(1 x2)(1 x3)...(1 xn )
ko‘rinishdagi ko‘paytmalarni natural n
(x) (1 xn ) 1 (1)m x 2
x 2
n1
m1
formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi.
teorema. (x)r(x) 1.
Do'stlaringiz bilan baham: |