Ri-11-21 guruh talabasining


Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari



Download 34,89 Kb.
bet2/2
Sana30.11.2022
Hajmi34,89 Kb.
#875259
1   2
Bog'liq
6-mustaqil ishi

Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.

  1. xossa. Agar

a0 , a1, a2 ,..., an ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

fa (x) va holda
b0 ,b1,b2 ,...,bn ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi


a0 b0 , a1 b1, a2 b2 ,..., an bn ,...
fb (x)
bo‘lsa, u

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)  fa (x)  fb (x)
bo‘ladi.

  1. xossa. Agar

a0 , a1, a2 ,..., an ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

fa (x) va
b0 ,b1,b2 ,...,bn ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
n
fb (x)
bo‘lsa, u

holda elementlari
dn aibn i
i 0
( n  0,1,2,... ) sonlardan iborat bo‘lgan

d0 , d1, d2 ,...,dn ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x)  fa (x) fb (x)
bo‘ladi.

Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin.

3-m i s o l . Ushbu
0,1,2,3,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

f (x) 
x
(1 x)2
bo‘ladi.


Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikka kxk
k 0
ko‘rinishdagi darajali


qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalini xk
k 0
qatorga

qo‘llab va
x  1
bo‘lgan hol uchun o‘rinli




k 0
xk 1
1  x
tenglikni hisobga olib,



quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:





kxk xkxk1x
d xk 

k 0 k 0
x d xk x d


k 0 dx


1 x .



dx
  2

k 0
dx 1  x (1  x)

Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi.

  1. xossa. Agar

a0 , a1, a2 ,..., an ,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi

fa (x)
bo‘lsa, u holda elementlari
bn  (n 1)an1
( n  0,1,2,... ) sonlardan iborat

b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
f (x) dfa (x)
bo‘ladi.

0 1 2 n
b dx

  1. misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.


Hosil qiluvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra izlanayotgan funksiya (1  k)xk
k 0
darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma-

ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi
1,1,...,1,... va
0,1,2,3,...
ketma-ketliklarning hosil



qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:





(1 k)xk
xk
kxk 1 x 1 x x 1 .

k 0
k 0
k 0
1 x
(1 x)2
(1 x)2
(1 x)2

Demak, bo‘ladi.
1,2,3,4,...
ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi
f (x) 
1


(1  x)2

  1. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz.

  1. misol. Berilgan chekli, butun va manfiymas s son uchun hadlari

Cn, 0  n s,

a s

formula asosida aniqlangan
a , a , a ,..., a ,...
sonlar ketma-

0,
s n,
0 1 2 n

ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda
Cn
s! n!(s n)!
– binomial koeffitsientlar. Bu


s
sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin.
Nyuton binomi formulasiga ko‘ra
s
a xn Cnxn  (1 x)s

n
n0
s
n0

munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun
s  0
son uchun

C0, C1, C2,..., Cs,0,0,...,0,...
ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi

s s s s

funksiyasi
f (x)  (1 x)s
ko‘rinishga egadir.

Yuqorida, aniqrog‘i, ushbu bobning 3- paragrafida binomial koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi.

1-teorema. Ixtiyoriy natural m , n va tenglik o‘rinlidir:
k m n
sonlar uchun quyidagi



min(k ,n)
Ci Ck i Ck .

n m i max(0,k m)
n m

Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin
u0  0
sonni qo‘yib,

u0  0, u1 1, un un2 un1, n  2 ,

ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) qiluvchi funksiyani topamiz.
u(x)
hosil

Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
  

u(x)  u xk x u xk x (u

  • u )xk

k
k 0

k
k 2

k 2 k 1
k 2
 

x u xk u xk x x2u xs xu
xp

k 2
k 2
k 1
k 2
s
s 0
p
p 0

x x2u(x)  xu(x) .

Endi hosil bo‘lgan tenglama deb qarab,
u(x)  x x2u(x)  xu(x)
tenglikni
u(x)
funksiyaga nisbatan

u0  0, u1 1, un un2 un1, n  2 ,

ketma-ketlikning u(x) 
x
1 x x2
hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz.

  1. teorema. Fibonachchi soni un ( n  0,1,2,... ) uchun

1
5 n
1
5 n

un



2  

2
tenglik o‘rinlidir.

Endi qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan
R(0), R(1), R(2), R(3),..., R(n),...



ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan
r(x)  R(n)xn  1 x  2x2  3x3  5x4  7x5 12x6  ...
n0
darajali qatorni qaraymiz.

L. Eyler uchun tekshirib,
(1 x)(1 x2)(1 x3)...(1 xn )
ko‘rinishdagi ko‘paytmalarni natural n

 
3m2m

3m2m










(x)  (1 xn )  1 (1)m x 2
x 2

n1
m1

formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi.

  1. teorema. (x)r(x)  1.




Download 34,89 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish