Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti



_^x₂ ^{ }

Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

^1  0;
x₁
^1   ;
x₂

_{2  } x₂
x₁
; ^2  
x₂
x_{1 .}

Ikkinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=0,7; х₂=–0,7 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

  0  

 ^{0,7  0,7}  0,61  1;

     
   0,94  1.

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan ikkinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin.

^x  x  ¹ (x²  0,7  x² 1)

2. 
   yechim uchun: ^ 1
   

1 ₃ 1 2



^_x₂  tg(x₁  x₂ 1)
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

_{2 }
x₁
x_{2 ;}
_{2 }
x₂
x_{1 .}

Uchinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=–0,1; х₂=1,2 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

    


 



 0,59  1.

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan uchinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin.

147

^x  x  ¹ (x²  0,7  x² 1)

 1
IV yechim uchun:
1 ₃ 1 2



^_x₂  tg(x₁  x₂ 1)
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

_{2 }
x₁
x_{2 ;}
_{2 }
x₂
x_{1 .}

To‘rtinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=–0,7; х₂=0,7 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

    


 



 0,94  1.

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan to‘rtinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin. Bu siste- malarning MathCAD dasturi yordamidagi yechimlari quyidagilar:

Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, dastur to‘g‘ri ishlayapti va nochiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari to‘g‘ri topilgan. Aniqlikni oshirish bilan iteratsiyalar soni ham oshib boradi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish aniq yechimga yaqinroq olinsa yaqinlashish tezligi ortadi va, tabiiyki, iteratsiyalar soni ham kamayadi.
2-misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini Mathcad dasturi yordamida yeching:

148

^_x²  y  13,



^_x²
y  44.

Yechish. Dastur matni quyidagicha:

3.17-rasm.

Mashqlar

Amaliyotda mashina va apparatlarning texnologik va mexanik hisoblari, avtomatik boshqaruv tizimlari hisobi, qurilmalarning xos tebranishlari, gomogen kimyoviy reaksiyalarning muvozanatli konsentratsiyasi, matematik jarayonlarda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ektremumini topish va shu kabi masalalar ko‘pincha
149

nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Shuning uchun quyidagi variantlarda ana shunday ba’zi amaliy masalalarning nochiziqli tenglamalari siste- masi keltirilgan va ularni yuqorida tavsiflangan sonli usullardan foydalanib, ushbu topshiriqlar bo‘yicha yechish talab etiladi:

1. 
   Grafik usulda tenglamalar sistemaning ildizlarini ajrating va ildizlar uchun boshlang‘ich yaqinlashishni tanlang.
   
2. 
   Tenglamalar sistemasining yechimlarini oddiy iteratsiyalar, Zeydel, Nyuton va Broyden usullari bilan 0,00001 aniqlikda toping, bunda iterasiya funksiyalari
   

_i(x) (i = 1,2,…) larni tanlashda yaqinlashishning yetarli shartini tekshiring.

3. 
   Yechish usullari natijalarini taqqoslang (aniqlik, iteratsiyalar soni).
   
4. 
   Barcha hisoblashlarni matematik paketlar (Maple, Mathcad, Matlab, Mathe- matica) yordamida aniqlashtiring. Olingan natijalarni Pascal, Delphi va C++ dastur- lari yoki MS Excel dasturi natijalari bilan ham taqqoslash tavsiya etiladi.
   

№