Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Taqribiy sonlar ustida amallar natijalarining xatoligi. Taqribiy sonlar ustida bajarilgan amallarning natijasi ham taqribiy. Bunday hisoblashlarning xatoligi dastlabki sonlarning xatoliklari orqali quyidagi qoidalar bo‘yicha ifodalanishi mumkin:

1. 
   Sonlarni qo‘shish va ayirishda ularning absolyut xatoliklari qo‘shiladi:
   

(a  b)  (a)  (b)  _a  _b  _ab .
n
Umumiy holda, agar
y  a₁  a₂ ...  a_n

bo‘lsa, unda


n
( y)  _(a_i ).
i1
Xususan
(a₁)  (a₂ )  ...  (a_n )
hol uchun

( y)  _(a_i )  n(a₁).
i1
Agar n > 10 bo‘lsa, ushbu
( y) 
3n(a₁)
Chebotaryev

formulasidan foydalaniladi.

a

 (a) 

b

 (b)

a

^max ^

b

^max

Ikki son yig‘indisi yoki ayirmasining nisbiy xatoligi ushbu

_{ (a  b) } (a  b) _ (a)  (b) _
a  b ^


a  b
 _max;

_{ (a  b) } (a  b) _ (a)  (b) _max
a  b a  b

formulalar bo‘yicha hisoblanadi, bu yerda a >0, b >0;
a  b ; _max  max (a), (b),

^{  a  b / a  b} . Agar
a  b 
a  b
bo‘lsa, u holda 
1
va bu hol aniqlikning

katostrofik yo‘qotilishi yoki aniqlikning to‘la yo‘qotilishi deb ataladi.

2. 
   Ikki son bir-biriga ko‘paytirilganda yoki bo‘lingada ularning absolyut va nisbiy xatoliklar qo‘shiladi:
   

(a  b)  a(b)  b(a) a_b  b_a ;
_ a _{ } b(a)  a(b) _ ^{ab  ba} _;

 (a  b)   (a)   (b);

 ^{ a }   (a)   (b).

 _b  _{2 2}  _b 
  b b  
Xususan, taqribiy son k ko‘paytuvchiga ko‘paytirilganda nisbiy xatolik o‘zgar-

maydi, absolyut xatolik esa k
marta ortadi, ya’ni
28
( k a) 
k (a) ,  ( k a)   (a) .

3. 
   Taqribiy son darajaga ko‘tarilganda uning nisbiy xatoligi daraja ko‘rsatgichiga ko‘paytiriladi:  (a^k )  k (a) , xususan,  (^k a)   (a)/ k .
   

Umuman olganda, sonlar ustida amallar bajarishda quyidagi qoidalarga amal qilgan ma’qul: 1) sonlar ketma-ketligini qo‘shishda va ayirishda ularni modulining oshib borishiga qarab, ularni qo‘shib yoki ayirib borish kerak; 2) qiymati bir biriga juda yaqin bo‘lgan sonlarni ayirishdan imkoniyati boricha qochish kerak; 3) ushbu a(b–c) ifodani ab – ac kabi, (b–c)/a ifodani esa b/a – c/a kabi yozish mumkin. Agar b va c sonlar bir biriga juda yaqin bo‘lsa, u holda ayirmani ko‘paytma va bo‘linmadan oldin bajariz zarur; 4) hisoblashlarda arifmetik amallar sonini minimal holatga keltirish tavsiya etiladi.
Xatoliklar nazariyasining to‘g‘ri masalasi. Masala argumentning berilgan
xatoligi bo‘yicha funksiya qiymatini hisoblash xatoligini baholashdan iborat.
^{Funksiya xatoligi.} u  f x₁, x₂,..., x_n  ^{– ko‘p o‘zgaruvchili, uzluksiz, differen-}
sialanuvchi funksiya absolyut xatoligining umumiy formulasi quyidagicha:

(u)  df x , x

,..., x  

^{n f} (x )  n
^f (x )

1 2 n
^ x
^{i } x ⁱ

yoki bu tengsizlikni yanada kuchaytirsak,
^i1 i
^i1 i

n
(u) 
f _
yoki 
 n ^f  ,

^ x ^xi
u ^ _x x_i

^i1 i ^i1 i

bu yerda
 _xi
– berilgan
x_i (i 1, 2,..., n)
argumentlarning chegaraviy absolyut xato-

liklari. Xususan c = a – b ayirma uchun
_c 
c_a^
_a  c_b^ _b
 _a  _b . Chegaraviy

nisbiy xatolik ushbu

n

1	f
f	xi

_u  _
i1
_xi


formuladan topiladi. Xususan, bir

o‘zgaruvchili y=f(x) funksiya uchun:

 _y  ^y 
x_x 
_{ x} ;

 _y 
f ^(x) _x 
f ^(x) x_x ^.

x
Masalan, ba’zi elementar funksiyalar uchun chegaraviy xatoliklar:

1. 
   y = x^k – darajali funksiya uchun
   

 _y  kx^k1 _x ;  _y 
k _x  k
x ^1 .

2. 
   y = a^x – ko‘rastkichli funksiya uchun
   

^{ y  a x ln a   x} ;
 _y 
x lna _x ;

xususan, y = e^x uchun:
^{ y  ex   x} ;  _y 
x _x  _x .

3. 
   
   x y
   y=lgx – logarifmik funksiya uchun
   

 _y  ( x  ln 10)^1   _x ;

^{ y  ( lg x  ln 10)1  x} ; xususan, y = lnx uchun
^{ y  ( ln x )1  x} .
 _y 
x ^1     ;

4. 
   Trigonometrik funksiyalar uchun:
   

^sin x
29
 cos x   _x
  _x ;
^cos x ^

 sin x   _x
  _x ;
^tgx
 (1  tg ² x) _x
  _x ;
^ctgx
 (1  ctg ² x) _x
  _x ;

^sin x ^
x  ctgx  _x  ctgx   _x ;
^cos x ^
x  tgx _x 
tgx   _x .

5. 
   Teskari trigonometrik funksiyalar uchun:
   

^arcsin x ^{ }arccosx ^{ }x ^/
1 x² ;

_arctgx   _x /(1  x² );
^arcsin x ^
x  _x /arcsin x  ;

^arccosx ^
x  _x /arccos x 
1  x² ;
^arctgx ^
x  _x /arctgx  (1  x² );

6. 
   z = x^y funksiya uchun:
   

 _z  x^y  y   _x / x  ln x 
y  ;

_z 
y ln x  _y 
y _x ;

Bir argumentli funksiyaning absolyut va nisbiy xatoliklarini topish uchun ushbu
( y)   f (x_ )  f (x_ )/ 2^{;  ( y)  ( y) / f (x) ;} x_  x  (x); x_  x  (x)
formulalardan foydalanish maqsadga muvofiq (xuddi shunday ko‘p argumentli funksiya uchun ham).
Masalan, x = 0,63 argumentning qiymati 0,1% nisbiy xatolikka ega bo‘lsa

sin0,63 ning nisbiy xatoligi:
 (sin 0,63)  0,63  ctg0,63  0,001  0,000864
 0,08% ;

bunda 0,00864<110^-3 bo‘lganligi uchun sin0,63 = 0,589145 qiymat verguldan keyin kamida ikkita qat’iy ishonchli raqamga ega.