|
Nazorat va muhokama savollari
Fazalar trayektoriyasini qurish vaqtida qanday qoidalarga amal qilinadi?
Fazaviy fazo usulining avzallik va kamchiliklarini tushuntirib bering.
MA’RUZA №3
ODDIY CHIZIQLI SISTEMA UCHUN FAZOVIY TRAEKTORIYALAR
Reja:
Asosiy tushuncha va ta’riflar.
Oddiy chiziqli tizim uchun fazoviy trayektoriyalar
masalalar.
Asosiy tushuncha va ta’riflar
Ba’zi bir tizimning o‘tish jarayoni ikkinchi tartibli tenglama bilan ifodalansin:
d 2 x
1
a
dt 2
dx a dt 2
x 0 . (6.5)
Bu tenglamani birinchi tartibli differensial tenglamalar orqali ifodalash mumkin
y dx
dt
(6.6)
belgilash kiritib, (6.5) tenglamani quyidagicha yozamiz.
1
dy a dt
y a
x . (6.7)
2
O‘zgaruvchi vaqtni yo‘qotish maqsadida (6.7) ni (6.6) ga bo‘lib (x va u ≠ 0):
2
1
hosil qilamiz.
dy a dx
(6.8)
1
2
(6.8) tenglamaning yechimi integral egri chiziqlar oilasini ifodalaydi va turli boshlang‘ich shartlarda turlicha ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bu egri chiziqlar oilasining hamma to‘plami har xil fazo trayektoriyalarini ifodalaydi.
(6.5) tenglama
p 2 a
p a
0 xarakteristik tenglama orqali ifodalanadi va u
a
p
1, 2
1
2
ildizlariga mos keladi. Bunda 6 ta holat bo‘lishi mumkin:
ildizlar mavhum, ya’ni a1 = 0, a2 > 0 (chiziqli tizim turg‘unlik chegarasida);
kompleks ildizlar manfiy haqiqiy qismga ega, ya’ni
a2 4 a , a 0 , a 0
(chiziqli tizim turg‘un);
1 2 1 2
kompleks ildizlar musbat haqiqiy qismga ega, ya’ni
a2 4a , a 0, a 0 ( chiziqli tizim noturg‘un);
1 2 1 2
ildizlar haqiqiy manfiy, ya’ni
a2 4 a , a 0 , a 0
(chiziqli tizim
turg‘un);
1 2 1 2
ildizlar haqiqiy musbat, ya’ni
a2 4 a , a 0 , a 0
(chiziqli tizim
noturg‘un);
1 2 1 2
ildizlar haqiqiy va a2 < 0 da har xil ishoraga ega (chiziqli tizim noturg‘un).
Oddiy chiziqli tizim uchun fazoviy trayektoriyalar
Ko‘rib chiqilgan har bir hol uchun fazoviy trayektoriyalar chizamiz:
Ildizlar mavhum, ya’ni a1 = 0, a2 > 0 (6.12-rasm). Bunda differensial tenglamaning yechimi so‘nmas tebranishni beradi.
x Asin( t ), y dx
dt
Acos( t ), ,
Ikkinchi tartibli tizimning fazo trayektoriyasi va undagi o‘tish jarayoni (ξ=0).
y x
a b
М0 (x0 ,y0 )
ωА v0
t 0 x
v M
А
6.12-rasm. Tizim turg‘unlik chegarasida.
Kompleks ildizlar manfiy haqiqiy qismga ega, ya’ni
Ikkinchi tartibli tizimning 0<ξ<1 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish jarayoni
а) b) px
t
М0(x0,y0)
v0
y=px 0 x
v
М
t
6.13-rasm. Tizim turg‘un.
Kompleks ildizlar musbat haqiqiy qismga ega, ya’ni
1
2
a2 4 a
, a1
0, a2
0 (tizim noturg‘un) (6.14-rasm).
Ikkinchi tartibli tizimning -1<ξ<0 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish jarayoni
а) b)
y=px
М0(x0,y
v0 x
t
0
М
v
6.14-rasm. Tizim noturg‘un.
Ildizlar haqiqiy manfiy, ya’ni
a2 4 a , a 0, a 0
(chiziqli tizim turg‘un)
(6.15-rasm).
1 2 1 2
Ikkinchi tartibli tizimning ξ>0 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish jarayoni
6.15-rasm. Tizim turg‘un.
Ildizlar haqiqiy musbat, ya’ni
a2 4 a , a 0, a
0 (chiziqli tizim noturg‘un)
(6.16-rasm).
1 2 1 2
Ikkinchi tartibli tizimning ξ<-1 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish jarayoni
y=px
b)
2 v0
v
M
0
t
1
М0(x0,y0)
x
6.16-rasm. Tizim noturg‘un.
Ildizlar haqiqiy va a2 < 0 da har xil ishoraga ega (chiziqli tizim noturg‘un).
Ikkinchi tartibli tizimning ξ>1 bo‘lganda fazo trayektoriyasi va o‘tish jarayoni
6.17-rasm. Tizim noturg‘un.
masalalar
6.1-masala. To‘yinish chegaralari 6.18-rasmda keltirilgan statik xarakteristikali nochiziqli element uchun kompleks garmonik uzatish koeffitsiyenti J(A) ni aniqlang.
Yechish: A a , bo‘lganda x
x Asin1t sinusoidal kirish signali
uchun chiqishdagi y F( x ) signalning
grafigini quramiz (6.19-rasm). Nochiliqlilik bir qiymatli kompleks uzatish koeffitsiyentidan iborat faqat haqiqiy qism
6.18-rаsm.
1
J ( A) q( A) B / A .
Fure qatori va 6.19-rasmdagi tavsifdan koeffitsiyent uchun formulalardan foydalanib, nochiziqli element chiqishidagi birinchi garmonika sinus tashkil
etuvchisidan
B1 amplitudani aniqlaymiz
6.19-rasm.
B
1 2 F ( Asin ) sind 4 kAsin d 2 sind
1
2 b
0 0
4 1
2
4 kA kA
kA
2 4
b cos
2
sin 2 b cos , (6.9)
4
bu yerda
0
k b ; t . (6.10)
a 1
6.19-rasmni inobatga olgan holda
sin a ;
A
arcsin a ;
A
cos
. (6.11)
Nochiziqli element parametri a va chiqishdagi signal amplitudasi A ni ikkilamchi sinus burchak deb belgilab olamiz:
sin 2
2sin cos 2
. (6.12)
(6.10)-(6.12) ifodalardan foydalanib, (6.9) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
B 4 kA
arcsin a
2k a
A
.
Aarcsin a
1 2 A
Nochiziqli elementning kompleks garmonik uzatish koeffitsiyenti quyidagicha:
B
J ( A) 1
2k a
arcsin .
A A
6.2-masala. Garmonik tebranishi nuqta uchun fazoviy portretni quring.
x Asint
qonuniyat bo‘yicha o‘zgaruvchi
Yechish: Fazoviy portretni qurish uchun x koordinatalaridan hosilani aniqlaymiz
dx
dt
A cos t . (6.13)
Fazoviy trayektoriya tenglamasini olish uchun x va
dx tenglamadan t vaqtni
dt
olib tashlaymiz.
dx ni y bilan beligilab, (6.13) tenglamani kvadratga oshiramiz
dt
y 2 A2 2 cos2 t . (6.14)
Xuddi shunaqa x tenglamani kvadratga oshirib, 2
ga ko‘paytiramiz
2 x2
A2 2 sin 2 t . (6.15)
(6.14) va (6.15) tenglamaning o‘ng va chap tomonlarini qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
y 2 2 x2
A2 2 yoki
x 2
A2
y 2
A2 2
1. (6.16)
(6.16) tenglama fazoviy trayektoriyani aks ettiruvchi tenglama hisoblanadi. 6.20- rasmda vaqt funksiyasida x koordinatalar o‘zgarishini aks ettiruvchi nuqtalar va
y dx
dt
tezlik hamda fazoviy portret keltirilgan.
Fazoviy portret o‘zida ellipislar oilasini aks ettiradi.
6.20-rasm.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
