Решение сравнений и их приложения

Доказательство.
Пусть Р (х) = с₀х^п + с₁х^n-1 + ... + c_n-1 x+ с_n . По условию a b (mod т), тогда
a^k b^k (mod m) при k = 0, 1, 2, …,n. Умножая обе части каждого из полученных n + 1 сравнений на c_n-k, получим:
c_n-ka^k с_n-k b^k (mod m), где k = 0, 1, 2, …,n.
Складывая последние сравнения, получим: Р (а) Р (b) (mod m). Если а (mod m) и c_i d_i (mod m), 0 ≤ i ≤n, то
(mod m). Таким образом, в сравнении по модулю m отдельные слагаемые и множители можно заменять числами, сравнимыми по тому же модулю m.
Вместе с тем следует обратить внимание на то, что встречающие­ся в сравнениях показатели степеней заменять таким образом нельзя: из
aⁿ c(mod m) и n k(mod m) не следует, что а^k с (mod m).
Свойство 11 имеет ряд важных применений. В частности, c его помощью можно дать теоретическое обоснование признаков де­лимости. Для иллюстрации в качестве примера дадим вывод при­знака делимости на 3.
Пример.
Всякое натуральное число N можно представить в виде система­тического числа: N = а₀10ⁿ + а₁ 10^n-1 + ... + а_n-110 + а_n .
Рассмотрим многочлен f (х) = а₀хⁿ+ a₁x^n-1 + ... + а_n-1х+а_n. Так как
10 1 (mod 3), то по свойству 10 f (10) f(1) (mod 3) или
N = а₀10ⁿ + а₁ 10^n-1 + ... + а_n-110 + а_n а₁+ а₂+…+ а_n-1+ а_n (mod 3), т. е. для делимости N на 3 необходимо и достаточно, чтобы сум­ма цифр этого числа делилась на 3.

§3. Системы вычетов

1. 
   Полная система вычетов.
   

Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.
Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq+r заставим q пробегать все целые числа.
Соответственно m различным значением r имеем m классов чисел по модулю m.
Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q=0, равный остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Вычет ρ, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.
Очевидно, при r< имеем ρ=r; при r> имеем ρ=r-m; наконец, если m четное и r= , то за ρ можно принять любое из двух чисел и -m= - .
Выберем из каждого класса вычетов по модулю т по одному числу. Получим т целых чисел: х_{1 ,…,} х_m. Множество {х₁ ,…, х_т } называют пол­ной системой вычетов по модулю m.
Так как каждый класс содержит бесчисленное множество вы­четов, то можно составить бесчисленное множество различных пол­ных систем вычетов по данному модулю т, каждая из которых содержит т вычетов.
Пример.

Составить несколько полных систем вычетов по мо­дулю т = 5. Имеем классы: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

2. 
   = {... -8, -3, 2, 7, 12,…}
   
3. 
   = {... -7, -2, 3, 8, 13,…}
   
4. 
   = {... -6, -1, 4, 9, 14,…}
   

Составим несколько полных систем вычетов, взяв по одному вычету из каждого класса:
0, 1, 2, 3, 4
5, 6, 2, 8, 9
-10, -9, -8, -7, -6
- 5, -4, -3, -2, -1
и т. д.
Наиболее употребительны:

1.