Решение некоторых краевых задач Book · September 018 citations reads 2,702 authors, including

2-bob. HAR XIL CHEGARAVIY SHARLI BIR OʻLCHOVLI PARABOLIK 
TIPDAGI TENGLAMANI OSHKOR VA OSHKORMAS SXEMALAR 
YORDAMIDA
SONLI YECHISH 
Quyida parabolik tipdagi bir oʻlchovli issiqlik oʻtkazuvchanlik tenglamasi 
asosida tuzilgan chegaraviy masalani chekli ayirmalar usuli bilan oshkor va 
oshkormas sxemalar boʻyicha har xil chegaraviy shartlarda yechamiz.
 
2.1. Bir oʻlchovli parabolik tipdagi tenglamani oshkormas sxema boʻyicha 
sonli yechish. 
Tekis cheksiz plastinka yoki tashqi muhit bilan issiqlik almashmaydigan 
(izolyatsiyalangan) sterjen orqali issiqlik uzatilishini tahlil qilamiz. Plastinkaning bir 
chetida 
, ikkinchi chetida esa 
oʻzgarmas temperatura ushlab turiladi. Bosh-
langʻich temperatura 
, plastinkaning ichida issiqlik ajraluvchi manbalar yoʻq (2.1-
rasm). Berilgan shartlarda temperatura plastinkaning chegarasiga perpendikulyar 
yoʻnalishlarda oʻzgaradi. Agar 
oʻqni 1-rasmda koʻrsatilgandek yoʻnaltirsak, u 
holda 
va 
yoʻnalishlarda temperaturani oʻzgarmas deb hisoblanadi. Yana faraz 
qilamizki, plastinkaning teplofizik xarakteristikalari temperaturadan bogʻliq emas.
Ana shular e’tiborga olinganda (1.1) differensial tenglama 
quyidagi koʻrinishga keladi: 
(2.1.) 
Boshlangʻich va chegaraviy shartlar quyudagicha yoziladi: 
(2.2) 
Qaralayotgan masalaning toʻla matematik qoʻyilishini 
2.1-rasm. Tadqiqot 
obyekti sxemasi. 
berish uchun birqiymatlilikning fizik shartlarini ham berish zarur.
Agar plastinka poʻlatdan tayyorlangan boʻlsa, u holda uning 

- issiqlik oʻtka-
zuvchanlik koeffisiyenti;

- zichligi,
c
– solishtirma issiqlik sigʻimi quyidagicha:
Toʻla matematik qoʻyilgan bu masalani teng oʻlchovli toʻrdagi chekli ayirmalar 
usuli bilan yechamiz. Buning uchun plastinkani qalinligi boʻyicha 
N
-1 ta teng kesma-
larga boʻlamiz, ya’ni chekli ayirmali toʻrni tuzamiz (2.2-rasm). 
Temperaturaning
 i
-chi tugundagi va 
vaqt momentidagi qiymatini 
kabi aniqlaymiz. Bu yerda – vaqt koordinatasi boʻyicha integrallash 
qadami; 
n
– vaqt boʻyicha qadam nomeri. 

---

20 
2.2-rasm. Chekli ayirmali toʻr: 
- ichki tugunlarning koordinatalari; 
- chegaraviy tugunlarning koordinatalari. 
 
(2.1) tenglamalardagi differensial operatorlarni ularning chekli-ayirmali analo-
glari bilan almashtiramiz. Oshkormas sxemadan foydalanamiz. 
Xususiy hosilalarni mos chekli ayirmalar bilan almashtirish natijasida quyidagi 
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
(2.3) 
Xususiy hosilalarni approksimatsiyalashning tanlangan sxemasini grafik 
koʻrinishda 2.3-rasmdagidek tasvirlash mumkin: 
2.3-rasm foydalanilayotgan toʻrtnuqtali oshkormas ayirmali sxemada yangi vaqt 
qatlamida uchta nuqta va eski vaqt qatlamida esa bitta nuqta olinayotganini yaqqol 
koʻrsatadi. 
Hosilalarni bunday approksimatsiyalash uslubi oshkormas deb atalishiga sabab 
vaqtning yangi qatlamidagi temperaturalar maydoni oshkormas ifodalangan, ya’ni 
ularni aniqlash uchun (2.3) tenglamalar sistemasini yechish zarur. 
Hosil boʻlgan tenglamalar sistemasini quyidagicha umumiy koʻrinishga keltirish 
mumkin: 
, (2.4) 
bu yerda 
. 
Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli uch nuqtali deb ataladi. (2.4) sistema uch 
diagonalli tuzilmaga ega. Shuning uchun nostatsionar masala qaralayotganligi sababli 
(2.4) sistemani har bir vaqt qadamida yechish zarur. 
Faraz qilaylik, shunday 
va 
(
) sonlar ketma-ketligi 
mavjudki, ular uchun 
(2.5) 
tenglik oʻrinli, ya’ni ikkinchi tartibli uch nuqtali (2.4) tenglama birinchi tartibli ikki 
nuqtali (2.5) tenglamaga aylanadi. (2.5) tenglikda indeksni bittaga kamaytiramiz va 
hosil boʻlgan ushbu
ifodani (2.4) tenglamaga qoʻyamiz: 

---

21 
2.3-rasm. Toʻrtnuqtali oshkormas ayirmali sxema shabloni. 
Bu yerdan esa 
Oxirgi tenglik (2.5) koʻrinishida va u bilan aynan mos boladi, agar barcha 
lar uchun quyidagi munisabatalar bajarilsa: 
(2.6) 
Bu yerdagi barcha 
va 
larni aniqlash uchun chap chegaraviy shartlardan 
topiladigan 
va 
larni bilisimiz zarur. 
Endi (2.5) formula boʻyicha ketma-ket 
larni topish mum-
kin, agar faqatgina oʻng chegaraviy shartdan 
topilgan boʻlsa. 
Shunday qilib, (2.4) koʻrinishdagi tenglamaning yechimini yuqoridagidek izlash 
uslubi haydash (progonka) usuli deb atalib, uchta formula boʻyicha hisoblashlarga 
olib kelinadi: (2.6) formulalar boʻyicha progonka koeffisiyentlari deb ataluvchi 
va 
(
) lar (toʻgʻri progonka) va keyin esa (2.5) formula boʻyicha 
(
) noma’lumlar topiladi (teskari progonka). 
Progonka usulini muvaffaqiyatli qoʻllash uchun hisoblashlar jarayonida nolga 
boʻlish holati paydo boʻlmasligi va katta oʻlchamli sistemalarda yaxlitlash xatoligi tez 
oshib ketmasligi lozim. 
Progonkani korrekt deb ataymiz, agar (2.6) formulalarda progonka koeffisiyent-
larining maxrajlari nolga aylanmasa va uni ustovor deb aytamiz, agar barcha 
lar uchun 
shart bajarilsa. 

---

22 
(2.4) tenglamalar progonkaning korrektligi va ustivorligining ushbu 
va
(2.7) 
yetarli sharti bu usulning koʻplab tadbiqlarida oʻz-oʻzidan bajariladi. 
(2.3) sistemaga qaytib, progonka koeffisiyentlarini aniqlaymiz va olingan siste-
mani yechishning toʻla algoritmini tuzamiz. 
Ma’lumki, 
da 
, u holda 
. 
Bu yerdan esa
. 
Xuddi shunday, 
da 
, u holda 
. 
Bu yerdan esa
. 
Progonka koeffisiyentlari (2.6) formulalardan hisoblanadi. 
Shunday qilib, (2.1)-(2.2) differensial masalani approksimatsiyalovchi ayirmali 
munosabatlar quyidagi koʻrinishga keladi: 
(2.8) 
(2.9) 
(3)-(4) differensial masalaning approksimatsiyasi (10)-(11) boʻlib, 
t
vaqt 
boʻyicha birinchi va 
x
fazoviy koordinata boʻyicha ikkinchi tartibli aniqlikda bajaril-
gan. Bu oshkormas ayirmali sxema absolyut ustivor, ya’ni (3)-(4) chegaraviy masa-
lani vaqt boʻyicha ixtiyoriy ayirmali qadam bilan integrallash mumkin. Vaqt boʻyicha 
qadam shunday tanlanadiki, toʻla kuzatuv vaqtining intervali hech boʻlmaganda 
kamida 10 ta qadamga boʻlinishi lozim. 
Masalani sonli yechishning algoritmi va dasturi quyida keltirilgan.