Решение этой системы выполним итерационным способом типа Зейделя. Для каждого значения составим последовательность,,,, …, которую строим до сходимости в сотых долях. Запишем соотношения

II. Для определения значений функции во внутренних точках области методом сеток заданное уравнение Лапласа в каждой точке заменим конечно-разностным уравнением по формуле
= ( + + + ).
Используя эту формулу, составим уравнение для каждой внутренней точки.Предварительно пронумеруем искомые значения функции, изобразив их на рис. 9, соответствующем построенной выше сеточной области; на этом рисунке отметим также найденные граничные значения. В результате получаем систему уравнений


; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; .

Решение этой системы выполним итерационным способом типа Зейделя. Для каждого значения составим последовательность , , , , … , которую строим до сходимости в сотых долях. Запишем соотношения, с помощью которых будем находить элементы всех последовательностей:

; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; .

Для вычислений по этим формулам нужно определит начальные значения , которые могут быть найдены каким-либо способом.

III. Чтобы получить начальное приближенное решение задачи, будем считать, что функция по горизонталям области распределена равномерно.
Сначала рассмотрим горизонталь с граничными точками (0; 0,2) и (1; 0,2) (рис. 10). Обозначим искомые значения функции во внутренних
7.2 25

(0;0.2) (1;0.2)
Рис. 10
10,8 25

(0;0.4) (1;0.4)
Рис. 11
точках через , , , . Так как отрезок разбит на 5 частей то шаг измерения функции . Тогда получим
= 7,2 + = 7,2 + 3,56 = 10.76; = + = 10,76 + 3,56 = 14,32;
= + =14,32 +3,56= 17,88; = + = 17,88 +3,56 =21,44.
Аналогично найдем значения функции во внутренних точках других горизонталей. Для горизонтали с граничными точками (0; 0,4) и (1; 0,04) (рис. 11) имеем = = 2,84 и, значит,
10,8 25

(0;0.6) (1;0.6)
Рис. 12
7,2 25

(0;0.8) (1;0.8)
Рис. 13

= 10,8 + 2,84 = 13,64; = 13,64 + 2,84 = 16,48;
= 16,48 + 2,84 = 19,32; = 19,32 + 2,84 = 22,16.
Значения в граничных точках третьей горизонтали (рис. 12) такие же, как и для второй горизонтали; следовательно, = = 13,64; =16,48; = 19,32; = 22,16.
Наконец, значения в граничных точках четвертой горизонтали (рис. 13) те же что и для первой горизонтали; поэтому = =10,76; =14,32; = 17,88; = 21,44.
Все полученные значения представим в следующей таблице, которая называется нулевым шаблоном: