Reje: Keri matrica

Tema: Keri matricanıń qásetleri.

Reje:
1. Keri matrica

2. Keri matrica tabıw usılları
3. Matrica rangi

Matrica ústinde almastırıwlar sızıqlı algebrada zárúrli ról oynaydı. Atap aytqanda, sızıqlı algebraliq teńlemeler sistemasınıń ulıwma sheshimin tabıwda, keri matritcani anıqlawda, matritsanıń ranin esaplawda matritca ústindegi almastırıwlardan keń paydalanıladı .Matrica qatarı (bag'anasi) ústinde elementar almastırıwlar úsh tipda boladı :eki qatardıń (bag'ananin') ornın almastırıw; qatardı (bag'anani) noldan ayrıqsha sanǵa kóbeytiw;qatarǵa úbag'anag'a) noldan ayrıqsha sanǵa ko'beytilgen basqa qatardı (bag'anani) qosıw .Biri ekinshisinen elementar almastırıw nátiyjesinde payda etilgen A hám B matricalarg'a ekvivalent matricalar dep ataladı hám A~B kóriniste jazıladı.Matricaları qosıw, ayırıw hám kóbeytiw sanlar ústinde atqarılatuǵın uyqas ámellerge sáykes ámeller esaplanadı. Bul bette matricalar ushın sanlardı bo'liw ámeline sáykes ámel menen tanısamiz.Sistemalardı modellestiriwde matricalar algebrasi degen túsinik zárúrli áhmiyetke iye. Joybarlaw máseleleri, jalpı ónim, jámi miynet sarpı, bahanı anıqlaw hám basqa máseleler hám de olarda ko'beytiwlerdi qollaw matricalar algebrasına qarawǵa alıp keledi. Islep shıǵarıwdı joybarlaw, materiallıq islep shıǵarıw arasındaǵı ámeldegi baylanısıwlardı ańlatıwda hám basqalarda, málim dárejede tártiplengen informaciyalar sistemasına tiykarlanǵan bolıwı kerek. Bul tártiplengen informaciyalar sisteması arnawlı bir kesteler kórinisinde kórsetilgen boladı. Mısal ornında materiallıq islep shıǵarıw tarmaqları arasındaǵı óz-ara baylanıslılıq informaciyaları sistemasın qarayiq. Islep shıǵarıw 5 (mısalı, mashinasazlik, elektroenergiya, metal, kómir, rezina islep shıǵarıw sanaatları ) tarmaqtan ibarat bolsın. Matricalarda qatarlar sanı bag'analar sanına teń bolsa, bunday matritcalar kvadrat matritca dep ataladı. Hár bir tártipli kvadrat matrica ushın onıń elementlerinen dúzilgen determinantni esaplaw múmkin, bul determinantqa matricanin determinanti dep ataladı hám yamasa B menen belgilenedi. Eger , matritcaga arnawlı matritca, bolsa, arnawlı emes matritca dep ataladı. Kvadrat matricanıń elementler jaylasqan qiyig'i bas qiyiq, elementleri jaylasqan qiyig'i járdemshi qiyiq dep ataladı. Bas qiyiqdag'i elementler 0 den ayrıqsha basqa barlıq elementleri 0 ge teń kvadrat matritca qiyiq matritca dep ataladı. Matricalardi qosıw, sanǵa kóbeytiw hám bir-birine kóbeytiw múmkin.

Birdey ólshemli hám matritcalardnin jıyındısı depl, elementleri túrde anıqlanatuǵın úshinshi matricaǵa aytıladı. Ayqıng'i, matritcanıń ólshemi aldınǵı matricalardnin ólshemi menen birdey boladı. Mısalı : matritcalar jıyındısı boladı. Matricalardi qosıw ámeli tómendegi orın almastırıw hám gruppalaw ózgesheliklerine iye, yag'niy Matricalardi qosıwda qandayda bir matritcag’a matritcani qosıw ádetdegi sanlardı qosıw daǵı no'l sanı rolin oynaydı, yag'niy mısalı,. matritsani sanǵa kóbeytiw dep onıń hámme elementlerin sol sanǵa kóbeytiwge aytıladı, yag'niy mısalı, ólshemli matricanıń ólshemli matricaǵa, kóbeymesi dep ólshemli sonday matricaǵa aytıladı, onıń elementi matrica -qatarı elementleriń matrica -ústininiń uyqas elementlerine kóbeytpeleri jıyındısına teń, yag'niy: Matricalar kóbeymesi menen belgilenedi. Sonday eken, matricalardı kóbeytiw ushın birinshi kóbiytiw bag'anaları sanı, ko'beytiwshinin qatarları sanına teń bolıwı talap etiledi. Sol sebepli, ulıwma. 1-mısal. hám matritcalar berilgen. hám matritcalardi kóbiymeniń. tarqatip alıw kerek. Birinshi matritcanıń bag'analar sanı, ekinshi matricanıń qatarlar sanına teń, sol sebepli bul matricalardı kóbeytiw múmkin: Matricalardı kóbeytiw bul gruppalaw hám de bólistiriw ózgesheligine iye. Mısalı, Bul halda Endi kóbeytiwdi atqaramız : Sonday etip qásiyet orınlı boladı. Endi bólistiriw ózgesheligin qaraymız : bolsın. Aldın bólistiriw ózgesheliginiń shep tárepin esaplaymiz: Ońı boladı. Sonday etip teńlik orınlı boladı. Qálegen kvadrat matricani uyqas birlik matritcag’a ko'beytirilgenda teńlik orınlı boladı
Bul 𝐴 kvadrat matricani qarayiq :
(1)Eger 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐸 bolsa, 𝐵 matrica 𝐴 matrica ushın keri matrica dep ataladı. 𝐴 matricag'a keri matricani 𝐴-1sıyaqlı belgilenedi.1-teorema. Eger 𝐴 matrica tán, yaǵnıy 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 bolsa, ol
halda 𝐴-1 keri matrica joq. Tastıyıq. 𝐴 matrica ushın 𝐴𝐵 = 𝐸 bolatuǵın 𝐵 matritca ámeldegi dep shama menen oylayıq. Ol halda det 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. 7-qasiyetke tiykarınan : 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐸. Biraq,𝑒𝑡 𝐴 = 0, 𝑑𝑒𝑡𝐸 ≠0 ekenligin esapqa alsaq, 0=1 ni ónim etemiz. Bul qarama-qarsılıq teoremani tastıyıq etedi. 2-teorema. Eger 𝐴 matrica birdey, yaǵnıy 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠0 bolsa, ol halda onıń ushın 𝐴-1keri matrica bar. Tastıyıq. matricanıń determinantı ∆ arqalı ańlatiladi.Bul determinantni 𝑎ij elementiniń algebraliq tolıqlawıshsı 𝐴ij arqalı ańlatpalaymız. 𝐴ij algebraliq tolıqlawıshlardan jańa 𝐴 matrica dúzemiz. Bul matrica 𝐴 matricaǵa biriktirilgen matrica dep ataladı.3-teorema. Eger 𝐴 matrica birdiy bolsa, ol halda 𝐴-1 matrica birden-bir bolıp tabıladı. Sonday etip, berilgen 𝐴 matricaǵa keri 𝐴-1 matricanı
payda etiw ushın tómendegi islerdi ámelge asırıw zárúr: 1. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = ∆ ni esaplaw. 2. Eger ∆≠0 bolsa 𝑑𝑒𝑡𝐴 dıń barlıq elementleri ushın
algebraliq tolıqlawıshlardan dúzilgen 𝐴 biriktirilgen matricani formulada kórsetilgen sıyaqlı dúziw.
3. Bul matricanıń barlıq elementlerin ∆= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ǵa bólıw.1-mısal. Bul Matrica ushın keri matrica dúziń.
Sheshiw. Aldın 𝑑𝑒𝑡𝐴 ni tabamız :
Matrica barlıq elementleriniń algebraliq tolıqlawıshların
esaplaymiz:
A11=, A12=-A31=
A12=, A22=A32=-
A13=, A23=A33=A biriktirilgen Á matrica bunday bo’ladi. Á=𝐴 matricanıń hámme elementlerin ∆= 3 ke bolsaq, keri 𝐴-1 matricanı payda etemiz.
Á=Keri matricanıń eki ózgesheligin keltiremiz:
1. 𝑑𝑒𝑡𝐴-1 = 1 𝑑𝑒𝑡𝐴
2. (𝐴𝐵)-1= 𝐵-1𝐴-1 .Kvadrat matrica ushın birlik matrica bolsa, kvadrat matrica matricaǵa keri matrica dep ataladı. Ádetde, matricaǵa keri matritca menen belgilenedi.
Bilgenimizdey birlik matrica hám teńlik orınlı.
1-Tariyp. matrica ushın teńlikti qánaatlantıratuǵın matricaǵa teris matrica dep ataladı hám ol kóriniste belgilenedi. 2-Tariyp. Barlıq qatar vektorları sızıqlı erkli matrica birdiy matrica, barlıq qatar vektorları sızıqlı baylanısqan matrica tán matrica dep ataladı. Birdiy matricalarǵa tiyisli tómendegi eki teoremani tastıyıqsız keltiremiz. 1-Teorema. Birdiy matricanı elementar almastırıwlar járdeminde birlik matricaǵa keltiriw múmkin. 2-Teorema. Birdiy matricaǵa teris matritsa ámeldegi hám birden-bir bolıp tabıladı. (Teoremanıń tastıyıqları A. G. Kuroshnıń «Joqarı algebra stul» kitabında keltirilgen). Teorema: kvadrat matricaa keri matricaǵa ıyelewi ushın matricanıń determinantı 0 den ayrıqsha bolıwı zárúr hám jetkilikli bolıp tabıladı. (Bul teoremanı tastıyıqsız keltirdik, onıń tastıyıqın keńlew programmalı kurslardan tabıw múmkin, mısalı, v. E. SHneyder hám basqalar. «Joqarı matematika qısqa stul» 1 tom. T. Oqıtıwshı. 1985. 407 b.) kvadrat matrica ushın bolsa, oǵan keri bolǵan birden-bir matrica bar. Matricaǵa keri matrica formula menen tabıladı. Bunda uyqas túrde elementlerdiń algebraliq tolıqlawıshları hám.Keri matricanı tabıwǵa mısal qaraymız. 2-mısal. Bul matricaǵa keri matricanı tabıń. Tarqatıp alıw. Aldın matritcanıń determinantin esaplaymiz: Joqarıdaǵı teoremaga tiykarınan keri matrica ámeldegi, sebebi ayqın berilgen matrica arnawlı emes matrica bolıp tabıladı. Keri matricanı tabıw formulasına tiykarınan boladı. Keri matricanıń tuwrı tabılǵanlıǵın teńliktiń atqarılıwı menen tekserip kóriw múmkin, haqıyqattan da, ayqın birlik matrica payda boladı, bul keri matricanıń tuwrı tabılǵanlıǵın tastıyıqlaydı.1 Arifmetik vektorlar. Qálegen n ta x1, x2, , xn sanlardıń hár qanday tártiplengen kompleksi arifmetik vektor dep ataladı hám x= (xl, x2, , xn) sıyaqlı belgilenedi. Xl, x2, , xn sanlar x arifmetik vektordıń komponentleri dep ataladı. Arifmetik vektor ústinde tómendeji ámellerdi kiritemiz. Qosıw : eger x= (xl, x2, , xn) hám y= (yl, y2, , yn) bolsa, ol halda x+y= (xl+yl, x2+y2, , xn+yn) (1) Annotatsiya : Qálegen ólshemli matricanıń bir neshe qatar yamasa ústinlerin o shırıwdan" payda bolǵan kvadrat matrica determinantına matrica astı minori dep ataladı. Bul kvadrat matrica tártibi matrica astı minorınıń tártibi dep ataladı. Eger berilgenmatrica kvadrat formada bo lsa, onıń'eng úlken tártipli minori 0 ge teng. Qálegen ólshemli matricanıń k ta qatar hám k ta ústinlerin ajıratılǵan bolıp, bul qatar hám ústinler kesilispelerinde jatqan elementlerinen payda bolǵan kvadrat matrica determinantına matricanıń k tártipli minorı dep ataladı.Gilt sózler: Matrica, k -ne tártipli minor, matrica reńi, minorlar usılı, ekvivalent almastırıwlar. Eger berilgen matritsa kvadrat formada bolsa, onıń eń úlken tártipli minori ózine teń. Eger berilgen matrica n x m tártipli bolsa, ol halda onıń eń úlken tártipli minordıń tártibi k = min (n, m) boladı. Eger berilgen matrica n x m tártipli bolsa, ol halda bul matricadan ajıratıw múmkin bolǵan k tártipli minorlar sanın n m formula menen tabıladı, bul erda
Ck = n! k = m!
k! (n - k)! hám k! ' (m- k)!, n yamasa m ta elementten k den
gruppalaslar sanı. 12 1-tártipli minor bar.
2-tártipli minorlar. 4 5
M 2 =
M
M2 =
2 1
4 7
2 4
1 hám 2-qatardı, hám de 1 hám 2-bag’analardi ajıratıwdan payda etińan. 1 hám 2-qatardı, hám de 1 hám 3-ústinlerdi ajıratıwdan payda etińan.1 hám 3-qatardı, hám de 1 hám 2-ústinlerdi ajıratıwdan payda etińan. hám taǵı basqa sol tártipte dawam etip
C3 x C4 =-2! ___4—=• =3. 3 • 2 = 18
2! (3-2)! 2! (4-2)! 2! '1! •2 2-tártipli
minorlarni payda etiw múmkin.
3-tártipli minorlar.
'4 5 7 7 ^ A =2143 3 7 0 8
M3 =
4 5 7
2 1 4
3 7 0
1, 2 hám 3-qatardı, hám de 1, 2 hám 3-ústinlerdi ajıratıwdan ónim
etilgen 3-tártipli minor. 4 5 7
M3 =
2 1 3
3 7 8
1, 2 hám 3-qatardı, hám de 1, 2 hám 4-ústinlerdi ajıratıwdan ónim etilgen 3-tártipli minor. 477
M3 =
2 4 3
3 0 8
1, 2 hám 3-qatardı, hám de 1, 3 hám 4-ústinlerdi ajıratıwdan ónim etilgen 3-tártipli minor. 577 M3 =
1 4 3 708 1, 2 hám 3-qatardı, hám de 2, 3 hám 4-ústinlerdi ajıratıwdan payda etińan 3-tártipli minor.Basqa 3-tártipli minor jaq. Formula boyınsha da
C3 x C4 =
3!
4!
1 3!. 4 „
=---= 4
3! (3-3)! 3! (4-3)! 0! 3 M! ta 3-tártipli minorlarni payda etiw múmkin.
1-tariyp. A matricanıń noldan ayrıqsha minorlarınıń eń úlkeniniń rejimine matricanıń rangi dep ataladı hám rangi ( A) = () kórinisinde belgilenedi. Matrica rangi tariypidan tikkeley kelip shıǵıwshı ózgeshelikleri: 1) Eger A matrica m xn ólshewli bolsa, ol halda rangA " min (m;n); 2) A matricanıń barlıq elementleri nolǵa teń bolsa, ol halda rangA = 0;3) Eger A matrica n -tártipli kvadrat matrica hám A ^0 bolsa, ol halda rangA = n.
r 1 _2 ^
A = 2-mısal.-2 3
4 -7 matrica ranginiń anıqlań. Sheshiw. Berilgen matrica (3 x 2) ólshemli bolǵanı ushın qatarlar hám ústinler sanın salıstırıwlaymız hám kichigini, yaǵnıy 2 ni tańlaymiz. Matricadan ekinshi tártipli minorlar ajratamız hám olardıń ma`nisin esaplaymiz. Bul processni nolden ayrıqsha ekinshi tártipli minor tapilǵansha dawam ettiremiz:
M, 1 -2 -2 4 0, M,
1 -2 3 -7
1 * 0. Berilgen matricadan nolden ayrıqsha eń joqarı ekinshi tártipli minor ajraldi. Sonday eken, táriypge qaray, A matrica rangi 2 ge teń, yaǵnıy rang (A) = 2.
A Bizge nxm matrica berilgen bolsın. Matricanıń rangi tikkeley táriypden paydalanıp tabıw algoritmın ; 1) Bul matricanıń eń úlken k = min (nm) tártipli minorlarini tekserip shıǵamız.
Paydalanilg'an ádebiyatlar;
1.H.Tórayev. Matematik mantıq hám diskret matematika.-T.,”Óqıwshı”,2003
2.A.S.Yusupov. Matematik mantıq hám algoritmler nazariysi elementleri.-T.,”Yangi asr avlod”,2006
3.A.S.Yusupov. D.I.Yusupova. Algera hám sanlar nazariyası.-T., TDPU. 2004