Reja: Sоnlаr kеtmа-kеtligi hаqidа tushunchа. Chеgаrаlаngаn kеtmа-kеtliklаr. Mоnоtоn kеtmа-kеtliklаr. Sоnlаr kеtmа-kеtligining limiti

5. Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdor.


Ta`ri: Agar <sub>n</sub>=0 bo`lsa, u holda ( _n ) ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor yoki cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
Agar x_n =a bo`lsa, u holda <sub>n</sub>=x<sub>n</sub>-a cheksiz kichik miqdor bo`ladi. Haqiqatan, ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan har bir >0 uchun n<sub>0</sub> natural son topilib, n>n<sub>0</sub> lar uchun | <sub>n</sub>|=|x<sub>n</sub>-a|< tengsizlik o`rinli.
Aksincha, agar _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo`lsa, u holda x<sub>n</sub>=a bo`ladi.
Demak, a son (x_n) ketma-ketlikning limiti bo`lishi uchun uni x=a+ <sub>n</sub> ko`rinishda ifodalanishi zarur va yetarlidir, bu yerda _n cheksiz kichik miqdor.
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning yig`indisi (ko`paytmasi) cheksiz kichik miqdor bo`ladi.
Isbot. <sub>n</sub> va <sub>n</sub> lar cheksiz kichik bo`lsa, u holda _n= _n + _n ni cheksiz kichik bo`lishini ko`rsatamiz. _n =0 dan har bir >0 uchun n₁ nomer topilib, n>n₁ lar uchun | _n|< tengsizlik o`rinli bo`ladi. Xuddi shu kabi n₂ nomer topilib, n>n₂ lar uchun | _n |< tengsizlik o`rinli bo`ladi. n₀=max(n₁,n₂) deb olsak, n>n₀ lar uchun | _n|< va | _n |< tengsizliklarning har biri o`rinli bo`ladi. Bundan | _n |<| _n+ _n | | _n |+| _n | < = tengsizlik kelib chiqadi. Demak, _n -cheksiz kichik miqdor.
_n va _n lar ko`paytmasi cheksiz kichik miqdor bo`lishi huddi shunday isbotlanadi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdorning ko`paytmasi cheksiz kichik miqdor bo`ladi.(isbotlang)
Misol. x_n = sin n² chegaralangan miqdor, _n = cheksiz kichik miqdor, lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor bo`ladi, ya`ni =0.
Ta`rif. Har bir M son uchun shunday n nomer mavjud bo`lib, barcha n>n₀ lar uchun |x_n|>M tengsizlik o`rinli bo`lsa, (x_n) ketma-ketlik cheksiz katta miqdor yoki ketma-ketlik deyiladi.
Bu holda x_n= belgilash ishlatiladi.
Demak, x_n=
Biror nomerdan boshlab x_n>0 (x_n<0) bo`lsa, x<sub>n</sub>= tenglik x<sub>n</sub>=+ ( x<sub>n</sub>=- ) ko`rinishda yoziladi.
Misol. 1. x_n=n², n²=+ ; 2. z_n=-2n, (-2n)=- .
Teorema. Agar x_n cheksiz katta miqdor bo`lsa, u holda <sub>n</sub>= cheksiz kichik miqdor bo`ladi.
Isbot: >0 son olib M= desak shunday n₀ nomer topilib, barcha n>n₀ lar uchun |x_n|> bo`ladi. Bundan = < tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan _n cheksiz kichik miqdor ekanligi kelib chiqadi.
A d a b i yo t l a r:
1. Gmurman V.Е., Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika.-T.:
O`qituvchi, 1977.
2. Soatov Yo.U. Oliy matеmatika.,3-j.-Toshkеnt: O`zbеkiston, 1996.
3. Gmurman V.Е. Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistikadan masalalar yеchishga doir qo`llanma.-Toshkеnt: O`qituvchi, 1980.
4. Abdualimov B.va bosh., Oliy matеmatikadan masalalar еchish bo`yicha qo`llanma.-Toshkеnt, O`qituvchi , 1985.