Reja Puankare gipotezasi tarixi

Biz esa ushbu mustaqil ishda gepotezada nima deyilganini tushuntirib berishga harakat qilamiz.

2. Gomeomorfizm:
X va Y topologik fazolar; Agar f: aklantirishda, 1. f biyektiv; 2. f va f^-1 akslantirishlar uzluksiz bo’lsa, F akslantirish gomeomorfizm deyiladi. Xususan, topologiya bo'shliqlarni oddiyroq ma'lum bo'lgan fazolarga doimiy ravishda deformatsiya qilishga qaratilgan.
Biz gomeomorf figuralar haqida aniqroq fikrga ega bo'lamiz: biz figurani kesib, uni burishimiz, bog'lashimiz, yechishimiz, va hokazo, lekin keyin biz kesilgan joyni avvalgidek yopishtirishimiz kerak.

Bu uzluksiz deformatsiya gomeomorfizm deb ataladi .
Shunday qilib, gomeomorfizm ikki to’plam o'rtasidagi uzluksiz akslantirishdir.
Bu shuni anglatadiki, biz bakalni nafaqat doimiy ravishda toshga aylantira olishimiz kerak, balki toshni doimiy ravishda bakalga aylantira olishimiz kerak. Aniqroq qilib aytganda, gomeomorfizm - bu teskarisi ham uzluksiz bo'lgan ikkita topologik to'plam o'rtasidagi uzluksiz akslantirishdir.
Vizual ravishda, bu juda oddiy. Asosan, gomeomorfizmlar cho'zilish va qisqarishni o'z ichiga oladi, lekin kesish va pastalarni taqiqlaydi. Bu, masalan, ajratilgan bo'shliqlarni gomeomorfizmlar bilan bog'lab bo'lmasligini anglatadi .

Yuqoridagi ikkita fazo pastdagi ikkita fazoqa gomeomorf emasligiga e'tibor bering. Bu yuqoridagi ikkita fazoning bitta bog'langan chegaraga ega ekanligini isbotlash orqali isbotlanishi mumkin. Boshqa tomondan, pastdagi ikkita fazo ajratilgan chegaraga ega. Chegaralarni kesish yoki yopishtirish mumkin emasligi sababli, yuqoridagi fazolarni quyidagi fazolarga aylantirishning hech qanday usuli yo'q.
Bu, albatta, gomeomorf bo'lmagan fazolarni ajratish imkonini beradi. Ammo bir xil miqdordagi bog'langan komponentlarga ega bo'lgan va chegaralari ham bir xil miqdordagi bog'langan komponentlardan tashkil topgan ikkita fazo gomeomorf bo'lishi shart emas. Buni yaxshiroq tushunish uchun Puankare chegarasiz bog'langan fazolarga e'tibor qaratdi. Shuningdek, u tekislik kabi cheksizlikka boradigan fazolardan farqli o'laroq, faqat cheklangan fazolarni ko'rib chiqdi. Texnik jihatdan, bu fazolarlar n o'lchamli kompakt fazolar sifatida belgilanadi, shuning uchun agar siz biron bir nuqta atrofida etarlicha kattalashtirsangiz, bo'sh joy xuddi shunday ko'rinadi . n -o'lchovli vektor fazosi. Ular yopiq n-manifoldlar deb ataladi . 1-manifold egri chiziq, 2-manifold esa sirtdir.
M topologik fazo n-o’lchovli ko’pxillik (manifold) deyiladi, agar uning har bir P nuqtasini saqlovchi U atrofi Evklid fazosining biror V sohasiga gomeomorf bo’lsa.
Misol:
Birinchidan, eng oddiy yopiq 2-manifold bu shar. Agar siz sharni kattalashtirsangiz, sharning yuzasi tekislikka o'xshaydi, bu 2 o'lchovli vektor fazosi. Shunday qilib, shar 2-manifolddir. Bundan tashqari, u kompakt, chunki u chegaralangan.
Matematikada yopiq ko’pxillik kompakt chegarasiz ko’pxillikdir.

Taqqoslash uchun, ochiq ko’pxillik faqat kompakt bo'lmagan komponentlarga ega bo'lgan chegarasiz ko’pxillikdir.

"bir bog’lamli" degani, figura yoki topologik fazoda hech qanday teshik yo'qligini bildiradi.