Режа: Мажбурий тебранишлар Резонанс Мажбурий тебранишлар

Мажбурий тебранишлар Резонанс
Режа:

1. 
   Мажбурий тебранишлар
   
2. 
   Резонанс
   

Мажбурий тебранишлар
Ушбу мавзуда, нуқтага мувозанатловчи кучдан ташқари, вақт мобайнида даврий равишда ўзгариб турувчи -кучи ҳам таъсир этган, яъни тебранма ҳаракатнинг жуда бир муҳим масаласини кўриб ўтамиз. -кучининг Ох ўқидаги проекцияси,
Q_x=Q₀sinрt (83)
га тенг бўлсин. Бундай кучни қўзғатувчи куч деб аталади ва шу куч таъсиридаги тебранма ҳаракатни мажбурий тебранишлар деб аталади. (83) формуладаги р -қийматни қўзғатувчи кучнинг частотаси деб аталади.
Вақтга боғлиқ бўлган қўзғатувчи куч, бошқача қонуният бўйича ҳам ўзгариши мумкин. Лекин биз, фақат (83) кўринишдаги қонуният билан ўзгарувчи қўзғатувчи кучлар устида мавзу олиб борамиз холос. Ушбу (83) кўринишдаги қўзғатувчи кучни гармоник қўзғатувчи куч деб аталади. Бундай куч ҳақидаги муқим мисол 117 масалада кўриб ўтилади.
1. Муҳит қаршилиги бўлмаган ҳолдаги мажбурий тебранишлар¹. Ҳаракатланувчи нуқтага мувозанатловчи кучдан ташқари (253 шакл) фақат қўзғатувчи куч - таъсир этсин. У ҳолда нуқтанинг ҳаракат дифференциал тенгламаси қуйидаги кўринишда ёзилади
m =-cx+ Q₀sinрt
Бу тенгламанинг иккала томонини m-га бўламиз ва қуйидаги белгилашларни киритамиз
c/m=k², Q₀/m=Р₀ (84)
Р₀-нинг ўлчов бирлиги тезланиш каби бўлади. У ҳолда юқоридаги дифференциал тенглама қуйидаги кўринишга келади
+ k²= Р₀ sinрt (85)
(85) тенглама муҳит қаршилиги бўлмаган ҳолдаги нуқтанинг мажбурий тебранма ҳаракатининг дифференциал тенгламаси деб аталади. Дифференциал тенгламалар назариясига асосан, бундай тенгламанинг ечими х=х₁+х₂ кўринишда бўлади. Бу ердаги х₁- тенгламанинг ўнг томонисиз, яъни (67) кўринишдаги умумий ечими бўлиб (69) формулада берилган, х₂ -эса (85) тўлиқ тенгламанинг бирорта хусусий ечимидан иборат бўлади.
Тенгламанинг х₂ -ечимини рk деб ҳисоблаб, қуйидаги кўринишда ахтарамиз
х₂=В sinрt
бу ердаги В -ўзгармас қиймат бўлиб, унинг қиймати шундай бўлиши лозимки, уни (85)-га қўйилганда тенглама айниятга айланиб қолади. Шунга асосан, х₂ ва унинг иккинчи тарибли ҳосиласи ₂- ни (85) тенгламага қўйсак,
-р²B sinрt+k²B sinрt=Р₀ sinрt
Ушбу тенглик, вақт t-нинг ихтиёрий қийматларида ҳам қаноатланиши учун B(k²-р²)=Р₀ бўлиши керак, ёки
В= Р₀/(k²-р²)
Шундай қилиб, изланаётган хусусий ечим аниқланди, яъни
х₂= sinрt (86)
Тўлиқ ечим х=х₁+х₂ кўринишда бўлганлиги сабабли, ҳамда х₁-нинг ечими (68) формуладан маълум бўлганлиги учун, (85) тенгламанинг умумий ечими
x=Asin(kt+)+ sinрt (87)
бу ердаги А ва  - интеграл доимийлари бўлиб, улар бошланғич шартлар орқали аниқланади. (87) ечимдан кўриниб турибдики, тебранма ҳаракат иккита, яъни: 1) частотаси -k ва амплитудаси А -(амплитуда бошланғич шартларга боғлиқ ҳолда бўлади) бўлган хусусий тебранишлар; 2) частотаси -р ва амплитудаси В -(бу амплитуда бошланғич шартларга боғлиқ ҳолда бўлмайди) бўлган мажбурий тебранишларнинг йиғиндисидан иборат бўлар экан.
Лекин амалда, у ёки бу қаршиликлар эвазига, хусусий тебранишлар тез орада сўнади. Шу сабабли, нуқтанинг асосий тебранма ҳаракати, (86) тенглама орқали бўладиган мажбурий тебранишлардан иборат бўлади.
Мажбурий тебранишларнинг частотаси -р, қўзғатувчи кучнинг частотасига тенг бўлади. Агар шу мажбурий тебранишлар амплитудасининг қийматини сурат ва маҳражини k²-га бўлиб юборсак,
В= = (88)
бу ердаги ₀=Р₀/k²=Q₀/c, яъни ₀-нуқтанинг Q -куч таъсиридаги статик оғиши бўлиб (84) формула орқали аниқланади. Кўриниб тургандек, В-нинг қиймати қўзғатувчи кучнинг частотаси р-ни, хусусий частота k-га нисбатига боғлиқ экан. Қуйидагича
z=р/k, =B/₀ (88’)
белгилашлар киритамиз. Улчов бирлиги бўлмаган -коэффициентни динамиклик коэффициент деб аталади. У орқали, мажбурий тебранишларнинг амплитудаси В-нинг (яъни, тебраниш марказидан максимал оғишни), статик ₀-оғишга нисбатан неча марта катта бўлиши мумкин эканлиги аниқланади ва частоталарнинг нисбати z-га боғлиқ бўлади. (88) формуланинг графиги 264 шаклда тасвирланган бўлиб, юқоридаги эгри чизиқ h=0 (қолган эгри чизиқлар  ва z -ларга боғлиқ равишда тасвирланган)учун кўрсатилган.
Графикдан [ёки (88) формуладан] кўриниб турибдики, р ва k-қийматларнинг турли нисбатларда олиш ҳисобига турлича амплитудаларга эга бўлган мажбурий тебранишлар ҳосил қилиш мумкин экан. Агар р=0 (ёки р<0 -га тенг (ёки шу қийматга яқин) бўлади, Агар р -нинг қиймати k -га яқин бўлса, амплитуда В жуда катта бўлади. Ва ниҳоят р >> k бўлса амплитуда В -нинг қймати жуда кичик (ёки нолга яқин) бўлади. Яна шуни таъкидлаш лозимки, агар рk бўлса, у ҳолда синуснинг остига манфий ишорани киритиб, (86) формулани қуйидаги кўринишга келтириш мумкин
х₂= sin(рt-)


Демак, р>k бўлганда мажбурий тебранишлар фазаси билан, қўзғатувчи кучнинг фазаси, бир-бирига нисбатан  бурчакка сурилган бўлади (Q кучининг қиймати максимум бўлиб, ўнг томонга йўналса, тебранаётган масса максимум чап томонга сурилган бўлади ва ҳ).
Р е з о н а н с. Агар р=k бўлса, яъни қўзғатувчи кучнинг частотаси хусусий частота билан тенг бўлса, резонанс деб аталадиган ҳодиса рўй беради. (86) ва (88) формулаларда бундай ҳолат ифода этилмаган, лекин резонанс ҳодисасида амплитуданинг қиймати 262 шаклда кўрсатилгандек, катта миқдорда (катта қулоч билан тебрана бошлайди) ортиб кетади. Бу ҳақдаги батафсил маълумотлар шу параграфнинг охирги 3п да баён этилган.
Агар р=k бўлса (85) тенгламанинг х₂=Вsinрt дан иборат хусусий ечими бўлмайди, унинг ечимини
х₂=Сtсоsрt
кўринишда ахтарилади. У ҳолда, ₂=-2Срsinрt-р²Сtсоsрt, буларни (85) тенгламага қўйсак, ва р=k эканлигини эътиборга олиб, -2Срsinрt=Р₀sinрt, бундан С=-Р₀/2р бўлади. Натижада, муҳит қаршилиги бўлмаган мажбурий тебранма ҳаракатдаги резонанс ҳолатнинг тенгламасини ёзамиз:
х₂=-(Р₀/2р)tсоsрt ёки х₂=(Р₀/2р)tsin(рt-/2) (89)
Ушбу тенгламадан кўриниб турибдики, ҳақиқатдан ҳам резонанс ҳолатида мажбурий тебранма ҳаракатнинг қулочи вақтга пропорционал равишда ортиб борар экан, ва бундай ҳаракатнинг графиги 262 шаклда тасвирланган. Резонанс ҳолатида фаза /2 бурчакка сурилади.
2. Муҳит қаршилиги таъсиридаги мажбурий тебранишлар. Ҳаракатдаги нуқтага, мувозанатловчи куч , тезликка пропорционал равишда ўзгарувчи (§95) қаршилик кучи , ва (83) формула орқали ифодаланадиган қўзғатувчи куч Q таъсир этсин. Бундай кучлар таъсиридаги нуқтанинг ҳаракат дифференциал тенгламаси, қуйидагича бўлади
m =-cx- + Q₀sinрt (90)
Тенгламанинг иккала тарафини m-га бўлиб, ҳамда (77) ва (84) даги белгилашларни эътиборга олсак, юқоридаги тенглама
m +2b +k²x= Р₀sinрt (91)
(91) тенглама, ёпишқоқ муҳит қаршилиги таъсиридаги мажбурий тебранма ҳаракатнинг дифференциал тенгламаси деб аталади. Унинг умумий ечими х=х₁+х₂ кўринишда бўлади. Бу ердаги х₁- тенгламанинг ўнг томонисиз, яъни (76) кўринишдаги тенгламанинг умумий ечими [k>b бўлганда, (81) кўринишда] бўлади, х₂ -эса (91) тўлиқ тенгламанинг бирорта хусусий ечимидан иборат бўлади. Тенгламанинг х₂ -ечимини, қуйидаги кўринишда ахтарамиз
х₂=В sin(рt-)
бу ердаги В ва  -ўзгармас қийматлар бўлиб, уларнинг қийматлари шундай бўлиши лозимки, уларнинг аниқланган қийматларини (85)-га қўйилганда, у тенглама айниятга айланиб қолади. Шунга асосан, х₂ -нинг ҳосилаларини ҳисоблаймиз
=Врcоs(рt-), =-Вр²sin(рt-)
Бу ҳосилаларни ва х₂-нинг қийматларини (91) нинг чап томонига келтириб қўйсак, ҳамда қисқароқ ёзиш мақсадида рt-= (ёки рt =+) белгилаш киритсак
В(-р²+k²)sin+2bрВcоs=Р₀(cоs sin+sincоs)
Ҳар қандай -қийматларда ҳам, яъни ихтиёрий вақт учун ушбу тенглама қаноатланиши учун, унинг чап ва ўнг томонларидаги sin ва cоs ларни олдиларидаги ўзгармас коэффициентлар ўзаро тенг бўлишлари шарт; Демак
В(р²-k²)= Р₀cоs, 2bрB= Р₀sin
Юқоридаги иккала тенгламани (булардан  -нинг қийматини аниқлашда ҳам фойдаланилади) квадратларининг йиғиндилари ва уларни бир-бирларига нисбатлари орқали В ва  ларнинг қийматларини аниқлаймиз
В= , tg= (92)
(91) тенгламанинг х₁- (k>b бўлгандаги) ечими (81) да аниқланган, шунга кўра, (91) тенгламанинг тўлиқ ечими, қуйидаги кўринишда бўлади
x=Ae^-btsin(k₁t+)+Bsin(рt-) (93)
бу ердаги А ва  -лар интеграл доимийлари бўлиб, бошланғич шартлар орқали аниқланади. В ва  лар эса (92) формулада аниқланган бўлиб, бошланғич шартларга боғлиқ эмас, уларнинг b=0 бўлгандаги, яъни қаршилик кучи йўқ бўлгандаги қийматлари (86) ва (87) формулаларда аниқланган.
Ушбу тебранма ҳаракат мураккаб бўлиб, хусусий [(93) тенгламанинг биринчи ҳади, 263, а шакл] ва мажбурий [(93) тенгламанинг иккинчи ҳади, 263, б шакл] тебранма ҳаракатларнинг йиғиндиларидан иборат бўлади. Бундай ҳаракатнинг хусусий тебранишлари §95 да кўриб ўтилган эди. Щша ерда таҳкидланганидек, бундай тебранишлар тез орада сўнади ва бу сўниш даври t_у -ни ўрнашиш (ўтиш)вақти деб аталади, лекин кўп ҳолларда у эътиборга олинмайди.
Масалан, хусусусий тебранишларнинг қулочи 0,01В бўлган ҳолдаги ўрнашиш вақти t_у ни Аe^-bt=0,01В тенгликдан аниқланади ва


t_у= (94)
Кўриниб турганидек, қанчалик қаршилик кучи (яъни, қанчалик b) кичкина бўлса, ўрнашиш даври шунчалик узоқ кечади.
(93) қонуният бўйича содир бўлиши мумкин бўлган мажбурий тебранма ҳаракатнинг бир кўриниши 263, в шаклда тасвирланган, бу ерда нуқтанинг бошланғич тезлиги нолга тенг. Бошланғич шартлари ҳамда р ва k₁ частоталарнинг турли хил нисбатлари бошқача бўлган тебранишларнинг 0у вақт оралиғидаги, тебраниш характерлари мутлоқ бошқача бўлиши мумкин. Лекин, ўрнаш вақти ўтиб кетгандан кейин хусусий тебранишлар батамом тугайди ва нуқта фақат
х= Bsin(рt-) (95)
қонуният билан ҳаракатланади. Бундай қонуният бўйича тебранишлар, мажбурий тебранишлар деб аталади. Улар, амплитудаси (92) формула орқали аниқланадиган В-га тенг бўлган ва сўнмайдиган гармоник тебранишлар бўлиб, уларнинг частотаси қўзғатувчи кучнинг частотаси р-га тенг бўлади. Мажбурий тебранишларнинг фазасини қўзғатувчи кучнинг фазасига нисбатан сурилиши -га тенг бўлади.
Олинган натижаларни тадқиқ қилиб чиқамиз. Бунинг учун қуйидаги белгилашларни киритамиз,
z=р/k, h=b/k, ₀=Р₀/k²=Q₀/c (96)
бу ердаги z - частоталарнинг нисбати; h- қаршилик кучини белгиловчи қиймат; ₀- Q кучи таъсиридаги статик узайиш (масалан, пружинага осилган юкка қўшимча равишда қўйилган Q куч таъсирида пружинанинг қўшимча узайиши-₀).
У ҳолда, (92) тенгламанинг сурат ва маҳражини k² -га бўлиб юборсак:
В= , tg= (97)
(97) формуладан кўриниб турибдики, В ва  лар иккита z ва h ўлчовсиз қийматларга боғлиқ экан. Янада яхшироқ тушунтириш мақсадида, h -нинг баҳзи бир қийматлари учун, ушбу боғланишларнинг графиги тасвирланган. Биринчи графикда (264 шакл) динамиклик коэффциентининг =В/₀ (амплитуда В -нинг қиймати, ₀ -нинг қийматидан катта эканлиги) частоталар нисбатига қандай боғлиқ эканлиги тасвирланган.


264 шакл.
Иккинчи (265 шакл) графикда тебраниш фазасининг сурилиши, яъни -нинг z -га боғлиқ ҳолдаги графиги тасвирланган. Ҳар бир муқим масалада, берилган шартларга биноан ₀, z, h ларни аниқлаб, улар ёрдамида В ва  лар (97) формула орқали ҳисобланади ёки график орқали аниқланади. Бу графиклар (ёки формулалар)дан кўриниб турибдики, р ва k -ларнинг қийматларини турлича танлаш эвазига турлича амплитудага эга бўлган мажбурий тебранишлар олиш мумкин экан.
Қаршилик кучи жуда оз, ва z -нинг қиймати 1-га яқин бўлмаган сон бўлса, (97) формулада тақрибан h0 деб ҳисоблаш мумкин бўлади. У ҳолда, юқоридаги 1п даги натижаларни олишимиз мумкин, аниқроғи:
(98)
Қуйидаги хусусий ҳолларни кўриб чиқамиз.
1. Агар частоталар нисбати z- жуда кичкина (р<0 эканлигини аниқлаймиз. Бу ҳолдаги тебранма ҳаракатнинг амплитудаси статик узайиш ₀-га тенг бўлиб, фаза бўйича сурилиш 0 бўлади.
2.Агар частоталар нисбати жуда катта (р>>k) бўлса, амплитуда В кичкина бўлади. Бу ҳолат иншоотларни вибрациядан ҳимоя қилишда, приборсозликда ва шунга ўхшаш техниканинг турли соҳалари учун катта аҳамиятга эга бўлади. Қаршилик кучи оз бўлса, (97) формуладаги 2hz-ни эътиборга олмасдан ва (1-z²)z² деб ҳисобласак, В-нинг қийматини аниқлаш учун тақрибий формула ёзамиз,
В=₀/ z²=Р₀/р² (99)


265 шакл.
3. Барча амалий ишларда h-нинг қиймати 1 -дан анча кичкина бўлган ҳолат, айниқса, катта қизиқиш уйғотади. У ҳолда, агар z - нинг қиймати 1-га яқин сон бўлса (97) формуладан кўриниб турганидек, мажбурий тебранишларнинг амплитудаси ўзининг максимал қийматига чиқади. Бундай бўлган ҳолатни резонанс деб аталади.
(97) формуладан кўриниб турибдики, агар махраждаги f()=(1-)²+4h² (бу ерда =z²) қиймат минимум бўлса, В=В_р=В_max бўлар экан. Бу тенгламадан бир марта ҳосила олиб, уни нолга тенгласак, яъни f’()=-2(1- -2h²)=0 бўлади, бундан =1-2h² бўлади ва шу қийматда, яъни z_р= бўлганда В максимум бўлар экан. Демак, z -нинг 1-дан озгина кичик қийматларида резонанс ҳодисаси рўй берар экан. Лекин амалда 1-га нисбатан h² анча кичкина бўлганлиги сабабли z_р=1 деб ҳисобланади. Агар h-нинг қийматлари ўртача бўлганда, резонанс ҳодисаси унча сезилмайди (амплитуда В унча катта бўлмайди, 264 шакл), ва h> /20,7 бўлганда резонанс умуман содир бўлмайди.
Мажбурий тебранишларнинг резонанс ҳолатидаги амплитуда ва фазанинг сурилишини амалиётда z=1деб қабул қилиб, (97) формуладан келиб чиқадиган тақрибий ҳисоблашлар орқали аниқланади, яъни
В_р=₀/2h, _р=/2 (100)
Бундан кўриниб турибдики, h-нинг кичкина қийматларида В_р -жуда катта қийматларга эга бўлиши мумкин экан.
Шуни таъкидлаш лозимки, амплитудаси В_р -га тенг бўлган тебранишлар ва резонанс ҳолатидаги тебранишлар дарҳол рўй бермайди. Мажбурий тебранишларнинг ўрнашиш процесси 263, в шаклида кўрсатилгани каби кечади. Қанчалик қаршилик кучи кам бўлса, яъни қанчалик b ёки h кичкина бўлса, шунчалик В_р катта бўлади; ҳамда шу ўринда мажбурий тебранишларнинг ўрнашиш вақти t_ў - ҳам узоқ кечади [(94) формулага қаранг].
Қаршилик кучи йўқ бўлса, яъни b=h=0 бўлса, у ҳолда резонанс ҳолатидаги мажбурий тебранишлар (89) формула орқали аниқланади, унинг графиги эса 262 шаклда тасвирлангандаги каби бўлади. Шундай қилиб, агар қаршилик кучи йўқ бўлса, системанинг «силкиниш» процесси шунчалик узоқ кечади, тебранишнинг қулочи эса мунтазам ўсиб боради. Агар қаршилик кучи мавжуд бўлсаю, лекин у жуда кичкина бўлса, юқоридаги ҳолатлар ўшандай кечади.
3. Мажбурий тебранишларнинг умумий хоссалари.
Юқорида олинган натижаларга асосан мажбурий тебранишлар эркин тебранишларга нисбатан қуйидаги алоҳида муҳим хусусусиятларга эга эканлиги аниқланди: 1) мажбурий тебранишларнинг амплитудаси бошланғич шартларга боғлиқ эмас экан; 2) мажбурий тебранишлар муҳит қаршилиги таъсирида сўнмайди; 3) мажбурий тебранишларнинг частотаси, қўзғатувчи кучнинг частотасига тенг бўлиб, тебранаётган системаниинг характеристикасига боғлиқ эмас экан (қўзғатувчи куч тебранувчи системага ўзиниг частотасини «ўтказар» экан); 4) Агар, қаршилик кучи кичкина бўлса ва частота -р нинг сон қиймати, частота -k нинг сон қийматига яқин бўлса, жуда кичкина қўзғатувчи (кичкина Q₀ ) куч ҳам интенсив равишда мажбурий тебратади; 5) Агар, қўзғатувчи кучнинг частотаси -р нинг сон қиймати, хусусий частота -k нинг сон қийматидан катта фарқ қилса, жуда катта қўзғатувчи (катта Q₀ ) куч таъсирида ҳам мажбурий тебранишларнинг амплитудасини ҳоҳлаган миқдорда кичкина қилиш мумкин экан.
Мажбурий тебранишлар, айниқса улардаги резонанс ҳодисаси физика ва механиканинг турли соҳаларида ўта муҳим аҳамиятга эга. Масалан, машина ва двигателларнинг ишлашларида, уларга даврий равишда таъсир этувчи кучлар пайдо бўлади, натижада фундаментнинг ва машинанинг қисмлари мажбурий тебранишлар остида бўлган ҳаракатларда иштирок этадилар.
Двигателларни турли хил айланма тезликлар билан ишлатиш натижасида, мажбурий тебранишларнинг амплитудасини ўзгариш қонуниятини текшириб бориш мумкин, двигателнинг частотаси р= бўлади, бу ердаги -двигателнинг бурчакли тезлиги (117 масалага қаранг). -нинг ортиши билан, машинанинг (ёки фундаментнинг) тебранувчи қисмларининг амплитудаси ҳам ортиб боради ва =k бўлганда, резонанас ҳодисаси рўй беради ва мажбурий тебранишларнинг қулочи максимумга чиқади.
Двигателнинг бурчакли тезлиги -нинг қиймати, яна ортиб бориши натижасида, мажбурий тебранишларнинг амплитудаси В камая бошлайди ва >>k бўлганда, В -нинг қиймати нолга яқинлашади. Аксарият инженерлик иншоотларида, резонанас ҳодисаси катта зиён келтиради, шу сабабли р ва k -нинг қийматларини (р>>k) танлаш орқали, мажбурий тебранишларнинг амплитудасини нолга яқинлаштирилади, натижада амплитудани нолга келтирилади.
Радиотехникада эса, бундай ишлар тескарисича қилинади, яъни резонанс ҳодисаси жуда катта аҳамият касб этади ва бирорта керак бўлган радиостанцияънинг сигналини бошқа сигналлардан ажратишда (тўлқинни танлашда) жуда қўл келади.
Мажбурий тебранишлар назарияси, қатор приборларни яратилишида, масалан вибрографлар - тебранувчи жисмларнинг ҳаракатларини (фундаментнинг, машинанинг қисмларини ва б.), сейсмографлар - Ернинг устки қатламини тебранишини ўлчаш ишларида асосий илмий манба бўлиб хизмат қилади.
117 масала. Балка, унинг устига ўрнатилган моторнинг оғирлиги таъсирида _ст=1 см қийматга эгилиб қолади. Моторнинг минутига қандай сонли айланишида (айл/мин) резонанс ҳодисасининг рўй бериши аниқлансин.
Е ч и ш. (75’) формулага асосан, балканинг эркин тебранишларининг даври
Т=2
тенг бўлади. Агар мотор валининг оғирлик маркази С, валнинг геометрик маркази О нуқтадан силжиган бўлса, у ҳолда валнинг подшипниклари орқали моторга узатиладиган даврий равишда таъсир этувчи -куч пайдо бўлади ва бу куч ОС чизиқ бўйлаб йўналади (266 шакл, бундай кучлар §136 да кўриб ўтилади). -кучнинг Ох ўқдаги проекцияси Q_x=Qsint (-мотор валининг бурчакли тезлиги) моторга таъсир этаётган қўзғатувчи куч ҳисобланади. Бу кучнинг частотаси р= бўлгани учун, мажбурий тебранишларнинг даври Т_М=2/ бўлади.
Агар, Т_М=Т бўлса резонанс ҳодисаси рўй беради, яъни 2/=2 бундан,
_кр= 31,3 с^-1
Демак, критик айланишлар сони,
n_кр=30_кр/300 айл/мин.
Резонанс ҳодисаси бўлмаслиги учун, моторнинг айланишлар сони n_кр -га нисбатан бир неча марта катта бўлиши шарт экан.
118 масала. Қаттиқлик коэффциенти с бўлган пружинага вертикал ҳолда осиб қўйилган массаси m-га тенг бўлган 1-юкнинг мажбурий тебранишлари тадқиқ қилинсин. Пружина осилган D нуқта =а₀sinрt қонуни билан вертикал чизиқ бўйлаб тебранма ҳаракат қилмоқда.
Е ч и ш. Координата боши О нуқтани юкнинг статик мувозанати ҳолатига жойлаштирамиз ва Ох ўқини вертикал пастга йўналтирамиз (267 шакл). Агар деформацияланмаган пружинанинг узунлиги l₀ бўлса, у ҳолда пружинанинг ихтиёрий ҳолатдаги узунлиги l=l₀-+_ст+х бўлади. Пружинанинг узайиши =l-l₀=_cт+х-. Бу ҳолатда юкка таъсир этувчи эластиклик кучи F=c=c(_ст+х-) -га тенг бўлади. Шу сабабли юкнинг ҳаракат дифференциал тенгламаси (с_ст=mg эканлигини ҳисобга олиб) қуйидагича бўлади:
m =- c(_ст+х-)+mg ёки m =-cx+c
с/m=k² -белгилаш киритсак,
+ k²х= k²а₀sinрt


266 шакл. 267 шакл.
Демак, ушбу тенглама (85) тенглама билан бир-хил кўринишда бўлади, агар b=0 ва Р₀=k²a₀ эканлигини эътиборга олсак (91) тенглама билан ҳам бир хил бўлади. (96) тенгламадан кўриниб турибдики, ушбу масалада ₀=а₀ ва h=0. Мажбурий тебранишларнинг амплитудаси ва фазанинг сурилиши (98) формула орқали аниқланади.
Агар р<0 бўлади ва фазанинг сурилиши =0 бўлади. Юкнинг тебранишини кўринишидан худди пружинанинг ўрнига қаттиқ стерженга маҳкамланганга ўхшаб кетади, физик жиҳатдан k>>р -га мос келади. Агар р=k бўлса, резонанс ҳолати содир бўлади, ва тебранишнинг қулочи катталашиб кетади. Агар р-частотанинг k-дан катта (z>1) бўлса у ҳолда пружининг юқориги D нуқтаси юқорига кўтарилса, юк энг пастки ҳолатга тушади, D нуқта пастки ҳолатига тушса, юк ўзининг юқориги ҳолатигача кўтарилади (яъни фазанинг сурилиши =180 бўлади); қанчалик р катта бўлса, амплитуда шунчалик кичкина бўлади. Агар, р, k-га нисбатан жуда катта (z>>1) бўлса, амплитуда В0 бўлади. Бу ҳолда, пружинанинг юқориги D учи а₀ амплитуда билан тебранма ҳаракатда бўлишига қарамасдан юк ўзининг статик мувозанат ҳолатида (О нуқтада) жойлашади (чунки мажбурий тебранишларнинг частотаси шундай каттаки, унинг тебраниш частотасига юкнинг тебраниш частотаси улгурмайди).
4. Электродинамик аналог. §94 нинг бошида айтиб ўтганимиздек, қатор тебраниш процессларининг қонуниятларини ўзаро ўхшашлиги сабаби, ўша ҳаракатларнинг дифференциал тенгламаларининг ўхшашлигидан келиб чиқади. Бунга, кетма-кет уланган, индуктивлиги L бўлган ғалтак, R - омик қаршилик ва С -ҳажмли конденсаторлардан иборат бўлган контурни, ҳамда ўзгарувчан электр юритувчи куч Е(t) -ни (э.ю.к.) мисол сифатида келтириш мумкин (268 шакл).


У ҳолда Кирхгофнинг иккинчи қонунига биноан, конденсаторнинг заряди -q, қуйидаги дифференциал тенгламани қаноатлантиради:
L +R +(1/C)q=E(t) (101)
Ушбу тенгламани (90) тенглама билан солиштириб, шуни аниқлаш мумкинки Q₀sinрt -ни ўрнида A(t) турибди; У ҳолда иккала тенгламанинг тузилиши мутлоқ бир хил экан. Демак, юқорида кўриб ўтилган механик тебранишларнинг қонунияти ва конденсатордаги зарядларнинг ўзгариш қонунияти ҳам бир-хил экан. Ҳамда (90) ва (101) ни солиштириб: 1) нуқтанинг силжиши (координатаси) х - заряд q-га; 2) масса m-га, индуктивлик -L; 3) ёпишқоқ қаршилик коэффициенти  -га, омик қаршилик R; 4) пружинанинг қаттиқлик коэффициенти с-га, 1/C қиймат; 5) қўзғатувчи куч Q-га, э.ю.к. Е.; лар аналог сифатида иштирок этмоқда.
Ушбу аналоглар, нафақат мажбурий тебранишлар учун ўринли бўлиб қолмасдан, эркин (сўнувчи ва сўнмайдиган) тебранишлар учун ҳам ўринли бўлади. Масалан, юқоридаги электр занжири учун, §95 даги (77) ва (82) формулалар орқали сўнувчи электр тебранишларнинг хусусий тебраниш даври
k²=1/C, b=R/2L, ва T₁=2/ ,
агар омик қаршилик йўқ бўлса, тебраниш даври Т=2 бўлади.
Электродинамик аналог хоссасидан механик ҳаракатларни моделлаштиришда қўлланилади, хусусан электрон аналог машиналарда қўлланилади.