Reja: I. Kirish II. Asosiy qism teylor va Makleron formulalari. Teylor formulasining Lagranj ko’rinishdagi qoldiq hadi. Teylor formulasining Koshiko’rinishdagi qoldiq hadi. NyutonformulasivauningTeylorformulasibilanaloqadorligi

Kurs ishning maqsad va vazifalari:
1.TeylorvaMaklorenformulalariniо’rganish;
2. Teylorqatorigayoyishnio’rganish.
3.Maklorenqatorigayoyishnio’rganish.


Teylor va Makloren formulasi.
Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formulalaridan biri bo‘lib, ko‘plab nazariy tatbiqlarga ega. U taqribiy hisobning negizini tashkil qiladi.
Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko‘phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uni shu nuqta atrofida ko‘phad bilan almashtirish muammosi paydo bo‘ladi.
_Nuqtada differensiallanuvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
ya’ni

ko‘rinishda yozish mumkin.Boshqacha aytganda nuqtada differensiallanuvchi funksiya uchun birinchi darajali
(1.1)
ko‘phad mavjud bo‘lib, da bo‘ladi. Shuningdek, bu ko‘phad shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani qaraylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada hosilalarga ega bo‘lsa, u holda
(1.2)
shartni qanoatlantiradigan darajasi dan katta bo‘lmagan ko‘phad mavjudmi?
Bunday ko‘phadni
(1.3)
ko‘rinishda izlaymiz. Noma’lum bo‘lgan koeffitsientlarni topishda
(1.4)
shartlardan foydalanamiz. Avval ko‘phadning hosilalarini topamiz:

Yuqorida olingan tengliklar va (1.3) tenglikning har ikkala tomoniga o‘rniga ni qo‘yib barcha koeffitsientlar qiymatlarini topamiz:

Bulardan hosil qilamiz. Topilgan natijalarni (1.3) qo‘yamiz va (1.5) ko‘rinishda ko‘phadni hosil qilamiz. Bu ko‘phad Teylor ko‘phadi deb ataladi.
Teylor ko‘phadi (1.2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko‘phadi ayirmasini orqali belgilaymiz:
(1.4) shartlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi ya’ni ekanligini ko‘rsatamiz. Agar bo‘lsa, ifodaning tipidagi aniqmaslik ekanligini ko‘rish qiyin emas. Unga Lopital qoidasini marta tatbiq qilamiz. U holda

Demak da o‘rinli ekan.
Teorema. Agar funksiya nuqtaning biror atrofida marta differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda da quyidagi formula

(1.6) o‘rinli bo‘ladi, bu erda Peano ko‘rinishidagi qoldiq had.
Agar (1.6)formulada deb olsak, Teylor formulasining xususiy holihosil bo‘ladi:
(1.7)
Bu formula Makloren formulasi deb ataladi.